Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বিন্দুগামী স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো।

উত্তর: প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, [গণিত] (i) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক [গণিত] এবং ব্যাসার্ধ [গণিত] (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক [গণিত] এবং ব্যাসার্ধ [গণিত] [চিত্র] চিত্রে সরল সাধারণ স্পর্শকদ্বয় [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করেছে। এখন, [গণিত] এবং [গণিত] এ [গণিত] বা, [গণিত] : Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] এখন, Q (-24, 3) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] সরলরেখাটি সাধারণ স্পর্শক হলে, আমরা পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ∴ সরল সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] আবার, তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয় [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করেছে। [গণিত] এবং [গণিত] ∴ [গণিত] বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] এখন, [গণিত] বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] রেখাটি তীর্যক সাধারণ স্পর্শক হলে, আমরা পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বাা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ∴ তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

বিন্দুগামী স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

question image

উত্তর

দেওয়া আছে, x2+y2−8x+4y−2=0x^2+y^2-8 x+4 y-2=0
……..(i)(i)\ldots\ldots..(i) (i)
নং সমীকরণকে x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, g=−4,f=2\mathrm{g}=-4, f=2 এবং c=−2\mathrm{c}=-2. ∴x\therefore \quad \mathrm{x} অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য =2 g2−c=2 \sqrt{\mathrm{~g}^2-\mathrm{c}} =2(−4)2−(−2)=216+2=218=62\begin{aligned} & =2 \sqrt{(-4)^2-(-2)} \\ & =2 \sqrt{16+2} \\ & =2 \sqrt{18} \\ & =6 \sqrt{2} \end{aligned} এবং y অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য =2f2−c=2 \sqrt{f^2-c} =222−(−2)=24+2=26\begin{aligned} & =2 \sqrt{2^2-(-2)} \\ & =2 \sqrt{4+2} \\ & =2 \sqrt{6} \end{aligned}

উত্তর

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0 (1) নং বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করে। ∴f2=c\therefore \boldsymbol{f}^{\mathbf{2}}=\mathbf{c}
……(2)(1)\ldots\ldots(2) (1)
বৃত্তটি (0,3)(0, \sqrt{3}) বিন্দুগামী ∴02+(3)2+2.g.0+2.f.3+c=0\therefore \quad 0^2+(\sqrt{3})^2+2 . \mathrm{g} .0+2 . \mathrm{f} . \sqrt{3}+\mathrm{c}=0 বা, 3+23f+f2=0[∵f2=c]\quad 3+2 \sqrt{3} f+f^2=0 \quad\left[\because f^2=c\right] বা, (f+3)2=0(f+\sqrt{3})^2=0 বা, f+3=0f+\sqrt{3}=0 ∴f=−3\therefore \quad f=-\sqrt{3} এবং c=f2=(−3)2=3\mathrm{c}=f^2=(-\sqrt{3})^2=3 আবার, (1) নং বৃত্তটি (−1,0)(-1,0) বিন্দুগামী (−1)2+02+2⋅g(−1)+2⋅f⋅0+c=0(-1)^2+0^2+2 \cdot g(-1)+2 \cdot f \cdot 0+c=0 বা, 1−2 g+c=0\quad 1-2 \mathrm{~g}+\mathrm{c}=0 বা, 1−2 g+3=01-2 \mathrm{~g}+3=0 বা, 2 g=42 \mathrm{~g}=4 ∴g=2\therefore \quad g=2 g,f\mathrm{g}, f এবং c এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, x2+y2+4x−23y+3=0x^2+y^2+4 x-2 \sqrt{3} y+3=0

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ, x2+y2=9………….. (i) x2+y2−16x+2y+49=0...(ii)\begin{aligned} & x^2+y^2=9 \ldots \ldots \ldots \ldots . . \text{ (i) } \\ & x^2+y^2-16 x+2 y+49=0...(ii)\end{aligned} (i) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক C1(0,0)\mathrm{C}_1(0,0) এবং ব্যাসার্ধ r1=3\mathrm{r}_1=3 (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক C2(8,−1)C_2(8,-1) এবং ব্যাসার্ধ =(−8)2+12−49=\sqrt{(-8)^2+1^2-49} =65−49=\sqrt{65-49} =16=4=\sqrt{16}=4 question image চিত্রে সরল সাধারণ স্পর্শকদ্বয় Q(x1,y1)Q\left(\mathbf{x}_1, \mathbf{y}_1\right) বিন্দুতে ছেদ করেছে। এখন, △AC2Q\triangle \mathrm{AC}_2 \mathrm{Q} এবং △BC1Q\triangle \mathrm{BC}_1 \mathrm{Q} এ AC2BC1=C2QC1Q\frac{\mathrm{AC}_2}{\mathrm{BC}_1}=\frac{\mathrm{C}_2 \mathrm{Q}}{\mathrm{C}_1 \mathrm{Q}} বা, 43=QC2QC1\frac{4}{3}=\frac{\mathrm{QC}_2}{\mathrm{QC}_1} ∴QC2:QC1=4:3∴x1=4.0−3.84−3=−24 And y1=4.0−3(−1)4−3=3\begin{array}{ll} \therefore & \mathrm{QC}_2: \mathrm{QC}_1=4: 3 \\ \therefore & x_1=\frac{4.0-3.8}{4-3}=-24 \text{ And } y_1=\frac{4.0-3(-1)}{4-3}=3\end{array} : Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (−24,3)(-24,3) এখন, Q (-24, 3) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ, y−3=m(x+24)∴mx−y+3+24m=0\begin{array}{ll}& y-3=m(x+24) \\ \therefore \quad & m x-y+3+24 m=0\end{array} সরলরেখাটি সাধারণ স্পর্শক হলে, আমরা পাই, ∣3+24 m∣1+m2=3\frac{|3+24 \mathrm{~m}|}{\sqrt{1+\mathrm{m}^2}}=3 বা, ∣1+8m∣1+m2=1\frac{|1+8 m|}{\sqrt{1+m^2}}=1 বা, 1+16 m+64 m2=1+m21+16 \mathrm{~m}+64 \mathrm{~m}^2=1+\mathrm{m}^2 বা, 63 m2+16 m=063 \mathrm{~m}^2+16 \mathrm{~m}=0 বা, m(63m+16)=0m(63 m+16)=0 ∴m=0,−1663\therefore \mathrm{m}=0, \frac{-16}{63} ∴ সরল সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ, y−3=0y-3=0 এবং y−3=−1663(x+24)y-3=-\frac{16}{63}(x+24) বা, 16x+63y+195=016 x+63 y+195=0 আবার, তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয় P(x2,y2)\mathbf{P}\left(\mathbf{x}_2, \mathbf{y}_2\right) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∴x2=4.0+3.84+3=247\therefore \quad x_2=\frac{4.0+3.8}{4+3}=\frac{24}{7} এবং y2=4.0+3(−1)4+3=−37y_2=\frac{4.0+3(-1)}{4+3}=-\frac{3}{7} ∴ P\quad \mathrm{P} বিন্দুর স্থানাঙ্ক (247,−37)\left(\frac{24}{7}, \frac{-3}{7}\right) এখন, P(247,−37)\mathrm{P}\left(\frac{24}{7}, \frac{-3}{7}\right) বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, y+37=m(x−247)y+\frac{3}{7}=m\left(x-\frac{24}{7}\right) বা, 7mx−7y−24m−3=07 m x-7 y-24 m-3=0 রেখাটি তীর্যক সাধারণ স্পর্শক হলে, আমরা পাই, ∣−24m−3∣71+m2=3\frac{|-24 m-3|}{7 \sqrt{1+m^2}}=3 বা, ∣−8m−1∣=71+m2|-8 m-1|=7 \sqrt{1+m^2} বা, 64 m2+16 m+1=49+49 m264 \mathrm{~m}^2+16 \mathrm{~m}+1=49+49 \mathrm{~m}^2 বাা, 15m2+16m−48=015 m^2+16 m-48=0 বা, 15m2+36m−20m−48=015 m^2+36 m-20 m-48=0 বা, 3m(5m+12)−4(5m+12)=03 m(5 m+12)-4(5 m+12)=0 বা, (5m+12)(3m−4)=0(5 m+12)(3 m-4)=0 ∴m=−125,43\therefore \quad \mathrm{m}=-\frac{12}{5}, \frac{4}{3} ∴ তীর্যক সাধারণ স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, y+37=−125(x−247)y+\frac{3}{7}=\frac{-12}{5}\left(x-\frac{24}{7}\right) বা, 7y+37=−12(7x−24)5×7\frac{7 y+3}{7}=\frac{-12(7 x-24)}{5 \times 7} বা, 84x+35y−273=084 x+35 y-273=0 ∴12x+5y−39=0\therefore \quad 12 x+5 y-39=0 y+37=43(x−247)y+\frac{3}{7}=\frac{4}{3}\left(x-\frac{24}{7}\right) বা, 7y+37=4(7x−24)3×7\frac{7 y+3}{7}=\frac{4(7 x-24)}{3 \times 7} বা, 28x−21y−105=028 x-21 y-105=0 ∴4x−3y−15=0\therefore \quad 4 x-3 y-15=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন