Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

মূলবিন্দু থেকে [গণিত] এর উপর অবস্থিত দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র [গণিত] এবং ব্যাসার, [গণিত] এখন, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] .. (ii) (ii) নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার ওপর লম্ব দূরত্ব = বৃত্তটির ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এর মান (ii) এ বসাই, [গণিত] বা, [গণিত] (+) চিহ্ন নিয়ে : [গণিত] চিহ্ন নিয়ে : [গণিত] বা, [গণিত] নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয় : [গণিত] এবং [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

মূলবিন্দু থেকে এর উপর অবস্থিত দুইটি স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

p=3x−y+7, s=x2+y2−10x+20\mathrm{p}=3 \mathrm{x}-\mathrm{y}+7, \mathrm{~s}=\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2-10 \mathrm{x}+20

উত্তর

প্রদত্ত রেখা lx+my=1l x+m y=1 এখানে, বৃত্তের সমীকরণ x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তের কেন্দ্র (a,0)(a, 0) এবং ব্যাসার্ধ =(−a)2=a2=a=\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=a lx+my=1l x+m y=1 রেখাটি x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি কেন্দ্র (a,0)(a, 0) হতে lx+my=1l x+m y=1 রেখার লম্ব দূরত্ব x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হয়। ∣l.a+m⋅0−1∣l2+m2=±a\frac{|l . \mathrm{a}+\mathrm{m} \cdot 0-1|}{\sqrt{l^2+\mathrm{m}^2}}= \pm \mathrm{a} বা, ∣la−1∣l2+m2=±a\frac{|l \mathrm{a}-1|}{\sqrt{l^2+\mathrm{m}^2}}= \pm \mathrm{a} বা, (la∗−1)2l2+m2=a2\frac{\left(l \mathrm{a}^*-1\right)^2}{l^2+\mathrm{m}^2}=\mathrm{a}^2 বা, a2(l2+m2)=l2a2−2al+1\mathrm{a}^2\left(l^2+\mathrm{m}^2\right)=l^2 \mathrm{a}^2-2 a l+1 বা, a2l2+a2m2=l2a2−2al+1a^2 l^2+a^2 m^2=l^2 a^2-2 a l+1 বা, a2 m2+2al=1\mathrm{a}^2 \mathrm{~m}^2+2 \mathrm{a} l=1 ∴lx+my=1\therefore l x+m y=1 রেখাটি x2+y2−2ax=0x^2+y^2-2 a x=0 বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি a2 m2+2al=1\mathrm{a}^2 \mathrm{~m}^2+2 \mathrm{a} l=1 रड़ । (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, p=3x−y+7p=3 x-y+7 এবং p=0p=0 প্রদত্ত সরলরেখা, 3x−y+7=03 x-y+7=0 ….(i)\ldots. (i) ∴\therefore রেখাটির ঢাল =3=3 বা, (−1,2)(-1,2) বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ, y−2=m(x+1)y-2=m(x+1) ……(ii)\ldots\ldots (ii) যেখানে, ঢাল =m (ii) নং রেখাটি (i) নং রেখার সাথে 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। tan⁡45∘=±m−31+3m\tan 45^{\circ}= \pm \frac{m-3}{1+3 m} বা, 1=±m−31+3m1= \pm \frac{m-3}{1+3 m} বা, 1+3 m=±(m−3)1+3 \mathrm{~m}= \pm(\mathrm{m}-3) (+) চিহ্ন নিয়ে 1+3m=m−31+3 m=m-3 বা, 2m=−42 m=-4 ∴m=−2\therefore m=-2 (-) চিহ্ন নিয়ে, 1+3m=−m+31+3 m=-m+3 বা, 4m=24 m=2 ∴m=12\therefore m=\frac{1}{2} (ii) নং এ m এর মান বসিয়ে পাই, m=−2m=-2 হলে, y−2=−2(x+1)y-2=-2(x+1) বা, y−2=−2x−2y-2=-2 x-2 ∴2x+y=0…(iii)\therefore 2 x+y=0 \ldots (iii) m=12m=\frac{1}{2} হলে y−2=12(x+1)y-2=\frac{1}{2}(x+1) বা, 2y−4=x+12 y-4=x+1 ∴x−2y+5=0…..(iv)\therefore \quad x-2 y+5=0 \ldots.. (iv) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয় 2x+y=02 x+y=0 এবং x−2y+5=0x-2 y+5=0 আবার, (iii) নং হতে পাই, y=−2xy=-2 x ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m1=−2m_1=-2 (iv) নং হতে পাই, 2y=x+52 y=x+5 বা, y=12x+52y=\frac{1}{2} x+\frac{5}{2} ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m2=12\mathrm{m}_2=\frac{1}{2} ঢালদ্বয়ের গুণফল =m1m2=−2×12=−1=m_1 m_2=-2 \times \frac{1}{2}=-1 ∴\therefore রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।

উত্তর

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ, s=x2+y2−10x+20s=x^2+y^2-10 x+20 এবং s=0s=0 বা, x2+y2−10x+20=0x^2+y^2-10 x+20=0 বৃত্তের কেন্দ্র (5,0)(5,0) এবং ব্যাসার, r=g2+f2−c=52+02−20=5\mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{g}^2+\mathrm{f}^2-\mathrm{c}}=\sqrt{5^2+0^2-20}=\sqrt{5} এখন, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y=mxy=m x বা, mx−y=0m x-y=0
…..(ii)(ii)\ldots.. (ii) (ii)
নং রেখা (i) নং বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র হতে (ii) নং রেখার ওপর লম্ব দূরত্ব = বৃত্তটির ব্যাসার্ধ। অর্থাৎ ∣5m−0m2+1∣=5\left|\frac{5 m-0}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\sqrt{5} বা, (5 m)2 m2+1=5\frac{(5 \mathrm{~m})^2}{\mathrm{~m}^2+1}=5 [বর্গ করে] বা, 25 m2=5 m2+525 \mathrm{~m}^2=5 \mathrm{~m}^2+5 বা, 20 m2=520 \mathrm{~m}^2=5 বা, m2=14\mathrm{m}^2=\frac{1}{4} ∴m=±12\therefore \quad \mathrm{m}= \pm \frac{1}{2} mm এর মান (ii) এ বসাই, ±12x−y=0\pm \frac{1}{2} x-y=0 বা, ±x−2y=0\pm x-2 y=0 (+) চিহ্ন নিয়ে : x−2y=0x-2 y=0 (−)(-) চিহ্ন নিয়ে : −x−2y=0-x-2 y=0 বা, x+2y=0x+2 y=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয় : x−2y=0x-2 y=0 এবং x+2y=0x+2 y=0
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন