Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক AB রেখার লম্ব। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর: প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, [গণিত] (i) বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বৃত্তটির কেন্দ্র [গণিত] এবং ব্যাসাধ, [গণিত] . প্রদত্ত [গণিত] রেখার সমীকরণ [গণিত] . [গণিত] (ii) (i) নং বৃত্তের স্পর্শক (ii) নং রেখার উপর লম্ব বলে। নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] (iii) (iii) নং রেখা (i)নং বৃত্তের স্পর্শক বলে কেন্দ্র [গণিত] হতে স্পর্শকের দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই; [গণিত] নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 4: বৃত্ত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 4: বৃত্ত · সৃজনশীল

বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শক AB রেখার লম্ব। স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

উত্তর

(x1,y1)\left(x_1, y_1\right) ও (x2,y2)\left(x_2, y_2\right) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ, (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)+\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)=0 ∴(−1,3)\therefore \quad(-1,3) ও (4,2)(4,2) ) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ, (x+1)(x−4)+(y−3)(y−2)=0(x+1)(x-4)+(y-3)(y-2)=0 বা, x2−3x−4+y2−5y+6=0x^2-3 x-4+y^2-5 y+6=0 ∴x2+y2−3x−5y+2=0\therefore \quad x^2+y^2-3 x-5 y+2=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−3x−5y+2=0x^2+y^2-3 x-5 y+2=0.

উত্তর

মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (h,k)(h, k) এখন, (h,k)(h, k) কেন্দ্র এবং 1210\frac{1}{2} \sqrt{10} ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ, (x−h)2+(y−k)2=(102)2(x-h)^2+(y-k)^2=\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 ∴(x−h)2+(y−k)2=52\therefore (x-h)^2+(y-k)^2=\frac{5}{2}
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
নং বৃত্তটি (1, 1) বিন্দু দিয়ে যায়, ∴(1−h)2+(1−k)2=52\therefore \quad(1-h)^2+(1-k)^2=\frac{5}{2} বা, 1−2h+h2+1−2k+k2=521-2 h+h^2+1-2 k+k^2=\frac{5}{2} বা, h2+k2−2h−2k+2=52h^2+k^2-2 h-2 k+2=\frac{5}{2} …...(ii)\ldots... (ii) আবার, বৃত্তটির কেন্দ্র y=3x−7y=3 x-7 রেখার ওপর অবস্থিত। ∴k=3h−7\therefore \quad k=3 h-7 …...(iii)\ldots... (iii) k-এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, h2+(3h−7)2−2h−2(3h−7)+2=52h^2+(3 h-7)^2-2 h-2(3 h-7)+2=\frac{5}{2} বা, h2+9h2−42h+49−2h−6h+14+2=52h^2+9 h^2-42 h+49-2 h-6 h+14+2=\frac{5}{2} বা, 10 h2−50 h+65=5210 \mathrm{~h}^2-50 \mathrm{~h}+65=\frac{5}{2} বা, 2h2−10h+13=122 h^2-10 h+13=\frac{1}{2} বা, 4h2−20h+25=04 h^2-20 h+25=0 বা, (2h−5)2=0(2 h-5)^2=0 বা, 2h−5=02 h-5=0 বা, 2h=52 h=5 ∴h=52\therefore \mathrm{h}=\frac{5}{2} h -এর মান (iii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, k=3⋅52−7\mathrm{k}=3 \cdot \frac{5}{2}-7 বা, k=152−7=12k=\frac{15}{2}-7=\frac{1}{2} এখন h ও k-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, (x−52)2+(y−12)2=52\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{2} বা, x2+y2−5x−y+264=52x^2+y^2-5 x-y+\frac{26}{4}=\frac{5}{2} বা, x2+y2−5x−y=52−264x^2+y^2-5 x-y=\frac{5}{2}-\frac{26}{4} বা, x2+y2−5x−y=10−264x^2+y^2-5 x-y=\frac{10-26}{4} বা, x2+y2−5x−y=−164x^2+y^2-5 x-y=-\frac{16}{4} ∴x2+y2−5x−y+4=0\therefore \quad x^2+y^2-5 x-y+4=0 নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−5x−y+4=0x^2+y^2-5 x-y+4=0.

উত্তর

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2−2x−4y−4=0x^2+y^2-2 x-4 y-4=0 ……(i)\ldots\ldots (i) বা, x2−2x+y2−4y−4=0x^2-2 x+y^2-4 y-4=0 বা, (x−1)2+(y−2)2=1+4+4(x-1)^2+(y-2)^2=1+4+4 বা, (x−1)2+(y−2)2=9±32(x-1)^2+(y-2)^2=9 \pm 3^2 ∴\therefore বৃত্তটির কেন্দ্র (1,2)(1,2) এবং ব্যাসাধ, r=3\mathrm{r}=3. প্রদত্ত ABA B রেখার সমীকরণ y−3x+7=0y-3 x+7=0.
……(ii)(i)\ldots\ldots (ii) (i)
নং বৃত্তের স্পর্শক (ii) নং রেখার উপর লম্ব বলে। নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, 3y+x+k=03 y+x+k=0
……(iii)(iii)\ldots\ldots (iii) (iii)
নং রেখা (i)নং বৃত্তের স্পর্শক বলে কেন্দ্র (1,2)(1,2) হতে স্পর্শকের দূরত্ব = বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা, ∣1+3⋅2+k∣12+32=3\frac{|1+3 \cdot 2+k|}{\sqrt{1^2+3^2}}=3 বা, ∣k+7∣10=3\frac{|k+7|}{\sqrt{10}}=3 বা, ∣k+7∣=310|\mathbf{k}+7|=3 \sqrt{10} বা, k+7=±310k+7= \pm 3 \sqrt{10} বা. k=±310−7k= \pm 3 \sqrt{10}-7 kk এর মান (iii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই; 3y+x±310−7=03 y+x \pm 3 \sqrt{10}-7=0 ∴x+3y±310−7=0\therefore \quad x+3 y \pm 3 \sqrt{10}-7=0 নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, x+3y±310−7=0x+3 y \pm 3 \sqrt{10}-7=0.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 4: বৃত্ত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x2+y2+3x−5y+6=0;x+2y+1=0x^2+y^2+3 x-5 y+6=0 ; x+2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: 4x−3y−7=04 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}-7=0

Barisal · 2017

ক
3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
গ
দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরত্ব (1, 2) বিন্দু হতে 5125 \frac{1}{2} একক।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

3x2+3y2−12x+15y−6=03 x^2+3 y^2-12 x+15 y-6=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(a, -1), B( 0,−2)0,-2) এবং C( −2,−4)-2,-4)।

Sylhet · 2017

ক
(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকের আলোকে △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, C\mathrm{C} কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের আলোকে AB\mathrm{AB} এর মধ্যবিন্দুর ভুজ 52\frac{\sqrt{5}}{2} হলে, C\mathrm{C} বিন্দুগামী AB\mathrm{AB} এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(−2,−2)(-2,-\sqrt{2}) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Jessore · 2017

ক
P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।
খ
এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।
গ
বৃত্তটির AB\mathrm{AB} স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

P=i^−2j^−3k^,Q=3i^−j^+2k^\mathbf{P}=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}, \mathbf{Q}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} হলে, দেখাও যে, P+Q\mathbf{P}+\mathbf{Q} এবং P−Q\mathbf{P}-\mathbf{Q} পরস্পর লম্ব।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : x2+y2−10x−16y+64x^2+y^2-10 x-16 y+64 = 0 একটি বৃত্ত এবং 4x+3y+8=04 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+8=0 একটি রেখা।

Chittagong · 2017

ক
2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।
গ
(0,−1)(0,-1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

দেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, 3x−4y−8=03 x-4 y-8=0 রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

2x2+2y2+4x+6y+8=02 x^2+2 y^2+4 x+6 y+8=0 বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ দ্বারা বর্ণিত রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলোর সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের দূরএকটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত রেখার উপর [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর ক্ষেত্রফল 1 হলে, [গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং A বিন্দুগামউদ্দীপকের আলোকে [গণিত] এর মধ্যবিন্দুর ভুজ [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দুগামী [গণিত] এ[গণিত] বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।বৃত্তটির [গণিত] স্পর্শকের সমান্তরাল অপর স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা C, E ও F বিন্দু দিয়ে যায়।[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] এবং [গণিত] পরস্পর লম্ব।[গণিত] কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করেদেখাও যে, দৃশ্যকল্পের বৃতটিকে, [গণিত] রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শ বিন্দু নির্ণয[গণিত] বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন