Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] . [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ সুতরাং [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

A+B+C=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡2P=2sin⁡A⋅cos⁡P=2sin⁡Pcos⁡A⋅cos⁡2P=\sin 2 P=2 \sin A \cdot \cos P=2 \frac{\sin P}{\cos A} \cdot \cos^2 P =2tan⁡P⋅1sec⁡2P=2tan⁡P⋅11+tan⁡2P=2 \tan P \cdot \frac{1}{\sec^2 P}=2 \tan P \cdot \frac{1}{1+\tan^2 P} =2tan⁡P1+tan⁡2P==\frac{2 \tan P}{1+\tan^2 P}= ডানপক্ষ ∴sin⁡2P=2tan⁡P1+tan⁡2P⋅\therefore \quad \sin 2 P =\frac{2 \tan P}{1+\tan^2 P} \cdot (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া, আছে, A+B+C=πA + B + C = \pi বামপক্ষ = cos⁡A−cos⁡B+cos⁡C\cos A - \cos B + \cos C =2sin⁡A+B2⋅sin⁡B−A2+cos⁡C=2sin⁡π−C2⋅sin⁡B−A2+(1+cos⁡C)−1[∵A+B+C=π]=2cos⁡C2⋅sin⁡B−A2+2cos⁡2C2−1=2cos⁡C2[sin⁡B−A2+cos⁡C2]−1=2cos⁡C2[sin⁡B−A2+cos⁡π−(A+B)2]−1=2cos⁡C2[sin⁡B−A2+sin⁡A+B2]−1=2cos⁡C2[sin⁡(B2−A2)+sin⁡(A2+B2)]−1=2cos⁡C2⋅2sin⁡B2⋅cos⁡A2−1=4cos⁡A2⋅sin⁡B2⋅cos⁡C2−1=sin⁡−12∴cos⁡A−cos⁡B+cos⁡C=4cos⁡A2⋅sin⁡B2cos⁡C2−1.\begin{aligned} & =2 \sin \frac{A+B}{2} \cdot \sin \frac{B-A}{2}+\cos C \\ & =2 \sin \frac{\pi-C}{2} \cdot \sin \frac{B-A}{2}+(1+\cos C)-1[\because A+B+C=\pi] \\ & =2 \cos \frac{C}{2} \cdot \sin \frac{B-A}{2}+2 \cos^2 \frac{C}{2}-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \frac{B-A}{2}+\cos \frac{C}{2}\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \frac{B-A}{2}+\cos \frac{\pi-(A+B)}{2}\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \frac{B-A}{2}+\sin \frac{A+B}{2}\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2}\left[\sin \left(\frac{B}{2}-\frac{A}{2}\right)+\sin \left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right)\right]-1 \\ & =2 \cos \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}-1 \\ & =4 \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \cos \frac{C}{2}-1=\sin -\frac{1}{2} \\ \therefore \quad \cos A & -\cos B+\cos C=4 \cos \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}-1 .\end{aligned} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=B=π6=30∘\mathrm{A}=\mathrm{B}=\frac{\pi}{6}=30^{\circ}. ∴C=180∘−(A+B)\therefore \quad \mathrm{C} =180^{\circ}-(\mathrm{A}+\mathrm{B}) =180∘−(30∘+30∘)=180∘−60∘=120∘=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+30^{\circ}\right)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} বামপক্ষ =sin⁡3x+sin⁡3(C+x)+sin⁡3(2C+x)=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3(\mathrm{C}+\mathrm{x})+\sin^3(2 \mathrm{C}+\mathrm{x}) =sin⁡3x+sin⁡3(120∘+x)+sin⁡3(240∘+x)=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3\left(120^{\circ}+\mathrm{x}\right)+\sin^3\left(240^{\circ}+\mathrm{x}\right) =sin⁡3x+sin⁡3(180∘−60∘+x)+sin⁡3(180∘+60∘+x)=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3\left(180^{\circ}-60^{\circ}+\mathrm{x}\right)+\sin^3\left(180^{\circ}+60^{\circ}+\mathrm{x}\right) =sin⁡3x+sin⁡3{180∘−(60∘−x)}+sin⁡3{180∘+(60∘+x)}=\sin^3 \mathrm{x}+\sin^3\left\{180^{\circ}-\left(60^{\circ}-\mathrm{x}\right)\right\}+\sin^3\left\{180^{\circ}+\left(60^{\circ}+\mathrm{x}\right)\right\} =sin⁡3x+sin⁡3(60∘−x)−sin⁡3(60∘+x)=\sin^3 x+\sin^3\left(60^{\circ}-x\right)-\sin^3\left(60^{\circ}+x\right) =14[4sin⁡3x+4sin⁡3(60∘−x)−4sin⁡3(60∘+x)]=\frac{1}{4}\left[4 \sin^3 x+4 \sin^3\left(60^{\circ}-x\right)-4 \sin^3\left(60^{\circ}+x\right)\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x+3sin⁡(60∘−x)=\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x+3 \sin \left(60^{\circ}-x\right)\right. −sin⁡(180∘−3x)−3sin⁡(60∘+x)+sin⁡(180∘+3x)]\left.\quad \quad-\sin \left(180^{\circ}-3 x\right)-3 \sin \left(60^{\circ}+x\right)+\sin \left(180^{\circ}+3 x\right)\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x−3{sin⁡(60∘+x)−sin⁡(60∘−x)}=\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x-3\left\{\sin \left(60^{\circ}+x\right)-\sin \left(60^{\circ}-x\right)\right\}\right. +{sin⁡(180∘+3x)−sin⁡(180∘−3x)}]\left.\quad \quad+\left\{\sin \left(180^{\circ}+3 x\right)-\sin \left(180^{\circ}-3 x\right)\right\}\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x−3.2cos⁡60∘sin⁡x+2cos⁡180∘sin⁡3x]=\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x-3.2 \cos 60^{\circ} \sin x+2 \cos 180^{\circ} \sin 3 x\right] =14[3sin⁡x−sin⁡3x−3sin⁡x+2(−1)sin⁡3x]=\frac{1}{4}[3 \sin x-\sin 3 x-3 \sin x+2(-1) \sin 3 x] =14[−3sin⁡3x]=−34sin⁡3x==\frac{1}{4}[-3 \sin 3 x]=\frac{-3}{4} \sin 3 x= ডানপক্ষ সুতরাং sin⁡3x+sin⁡3(C+x)+sin⁡3(2C+x)=−34sin⁡3x\sin^3 x+\sin^3(C+x)+\sin^3(2 C+x)=\frac{-3}{4} \sin 3 x. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন