Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [বি: দ্র: a, ẞ ও এর পরিবর্তে A, B ও C হবে] উদ্দীপকের চিত্র হতে, [গণিত] এখন, বামপক্ষ [গণিত] নং থেকে [গণিত] = ডানপক্ষ

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

A+B+C=π2∽π2acos⁡(x+a)=A+B+C=\frac{\pi}{2} \backsim \frac{\pi}{2} a \cos (x+a)= bcos⁡(x−a)b \cos (x-a).

উত্তর

ডানপক্ষ =22+2+2cos⁡4x=22+2(1+cos⁡4x)=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 x}}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4 x)}}} =222+2{1+cos⁡(2⋅2x)=\frac{2}{2 \sqrt{2+\sqrt{2\{1+\cos (2 \cdot 2 x)}}} =22+2⋅2cos⁡22x[∵2cos⁡2A=1+cos⁡2A]=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2 \cdot 2 \cos^2 2 x}}}\left[\because 2 \cos^2 A=1+\cos 2 A\right] =22+2cos⁡2x=22(1+cos⁡2x)=22⋅2cos⁡2x=\frac{2}{\sqrt{2+2 \cos 2 x}}=\frac{2}{\sqrt{2(1+\cos 2 x)}}=\frac{2}{\sqrt{2 \cdot 2 \cos^2 x}} =24cos⁡2x=22cos⁡x=1cos⁡x=sec⁡x==\frac{2}{\sqrt{4 \cos^2 x}}=\frac{2}{2 \cos x}=\frac{1}{\cos x}=\sec x= বামপক্ষ অর্থাৎ, sec⁡x=22+2+2cos⁡4x\sec x=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 x}}} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, acos⁡(x+a)=bcos⁡(x−a)a \cos (x+a)=b \cos (x-a) বা, a(cos⁡x⋅cos⁡a−sin⁡x⋅sin⁡a)=b(cos⁡x⋅cos⁡a+sin⁡x⋅sin⁡a)a(\cos x \cdot \cos a-\sin x \cdot \sin a)=b(\cos x \cdot \cos a+\sin x \cdot \sin a) [∵cos⁡(A+B)=cos⁡A⋅cos⁡B−sin⁡A⋅sin⁡B{[\because \cos (A+B)} =\cos A \cdot \cos B-\sin A \cdot \sin B cos⁡(A−B)=cos⁡A⋅cos⁡B+sin⁡Asin⁡B]\cos (A-B)=\cos A \cdot \cos B+\sin A \sin B] বা, acos⁡x⋅cos⁡a−asin⁡x⋅sin⁡a=bcos⁡x⋅cos⁡a+bsin⁡x⋅sin⁡aa \cos x \cdot \cos a-a \sin x \cdot \sin a=b \cos x \cdot \cos a+b \sin x \cdot \sin a বা, acos⁡x⋅cos⁡a−bcos⁡x⋅cos⁡a=bsin⁡x⋅sin⁡a+asin⁡xsin⁡aa \cos x \cdot \cos a-b \cos x \cdot \cos a=b \sin x \cdot \sin a+a \sin x \sin a বা, (a−b)cos⁡x⋅cos⁡a=(a+b)sin⁡x⋅sin⁡a(a-b) \cos x \cdot \cos a=(a+b) \sin x \cdot \sin a বা, (a−b)cos⁡asin⁡a=(a+b)⋅sin⁡xcos⁡x(a-b) \frac{\cos a}{\sin a}=(a+b) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} বা, (a+b)tan⁡x=(a−b)cot⁡a(a+b) \tan x=(a-b) \cot a ∴(a+b)tan⁡x=(a−b)cot⁡a\therefore \quad(a+b) \tan x=(a-b) \cot a. (প্রমাণিত)

উত্তর

[বি: দ্র: a, ẞ ও এর পরিবর্তে A, B ও C হবে] উদ্দীপকের চিত্র হতে, 2α+2β+2γ=π2 \alpha+2 \beta+2 \gamma=\pi ⇒α+β+γ=π2\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2} এখন, বামপক্ষ =sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\sin^{2} \alpha+\sin^{2} \beta+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =12(1−cos⁡2α+1−cos⁡2β)+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡λ=\frac{1}{2}(1-\cos 2 \alpha+1-\cos 2 \beta)+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \lambda =12[2−(cos⁡2α+cos⁡2β)]+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=\frac{1}{2}[2-(\cos 2 \alpha+\cos 2 \beta)]+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−12×2cos⁡2α+2β2⋅cos⁡2α−2β2+sin⁡2γ+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\frac{1}{2} \times 2 \cos \frac{2 \alpha+2 \beta}{2} \cdot \cos \frac{2 \alpha-2 \beta}{2}+\sin^{2} \gamma+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma cos⁡C+cos⁡D=2cos⁡C+D2cos⁡C−D2\cos C+\cos D=2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2} =1−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−cos⁡(π2−γ)cos⁡(α−β)+sin⁡2γ+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ[i=1-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right) \cos (\alpha-\beta)+\sin^{2} \gamma+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma[\mathrm{i} নং থেকে ]] =1−sin⁡γcos⁡(α−β)+sin⁡2γ+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma \cos (\alpha-\beta)+\sin^{2} \gamma+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γ[cos⁡(α−β)−sin⁡γ]+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma[\cos (\alpha-\beta)-\sin \gamma]+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γ[cos⁡(α−β)−sin⁡[π2−(α+β))]+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma\left[\cos (\alpha-\beta)-\sin \left[\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right)\right]+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γ{cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)}+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma\{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)\}+\sin^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−sin⁡γ×2sin⁡αsin⁡β+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-\sin \gamma \times 2 \sin \alpha \sin \beta+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1−2sin⁡γsin⁡βsin⁡γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1-2 \sin \gamma \sin \beta \sin \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =1=1 = ডানপক্ষ
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন