Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] সে.মি. হলে, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং বাহু, [গণিত] সে.মি. [গণিত] [চিত্র] [গণিত] এ সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] (i) নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] এর ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক [গণিত] বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : [গণিত] বর্গ একক।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

এবং সে.মি. হলে, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image

Dinajpur · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =sec⁡(x2+π4)=\sec \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =1cos⁡(x2+π4)=\frac{1}{\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)} [∵sec⁡θ=1cos⁡θ]\left[\because \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\right] =1cos⁡x2cos⁡π4−sin⁡x2sin⁡π4=\frac{1}{\cos \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4}-\sin \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4}} [∵cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B][\because \cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B] =112cos⁡x2−sin⁡x2⋅12=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} =1cos⁡x2−sin⁡x22=2cos⁡x2−sin⁡x2=\frac{1}{\frac{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}} =2⋅22⋅(cos⁡x2−sin⁡x2)2=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)^2}} =22cos⁡2x2+sin⁡2x2−2⋅sin⁡x2⋅cos⁡x2=\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}-2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}} =221−sin⁡2x2=22(1−sin⁡x)=\frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{1-\sin 2 \frac{x}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2(1-\sin x)}} =22−2sin⁡x==\frac{2}{\sqrt{2-2 \sin x}}= ডানপক্ষ ∴sec⁡(x2+π4)=22−2sin⁡x\therefore \sec \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{\sqrt{2-2 \sin x}} (দেখানো হলো)

উত্তর

চিত্র হতে, △ABC−\triangle \mathrm{ABC}- এ, B=30∘\mathrm{B}=30^{\circ} ∴B3=10∘\therefore \frac{\mathrm{B}}{3} =10^{\circ} বামপক্ষ =16sin⁡ B3sin⁡5 B3sin⁡7 B3=16 \sin \frac{\mathrm{~B}}{3} \sin \frac{5 \mathrm{~B}}{3} \sin \frac{7 \mathrm{~B}}{3} =16sin⁡10∘sin⁡50∘sin⁡70∘=16 \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ} =8⋅(2sin⁡50∘sin⁡10∘)sin⁡70∘=8 \cdot\left(2 \sin 50^{\circ} \sin 10^{\circ}\right) \sin 70^{\circ} =8⋅(2sin⁡40∘+60∘2⋅sin⁡60∘−40∘2)⋅sin⁡70∘=8 \cdot\left(2 \sin \frac{40^{\circ}+60^{\circ}}{2} \cdot \sin \frac{60^{\circ}-40^{\circ}}{2}\right) \cdot \sin 70^{\circ} =8(cos⁡40∘−cos⁡60∘)sin⁡70∘=8\left(\cos 40^{\circ}-\cos 60^{\circ}\right) \sin 70^{\circ} [∵cos⁡C−cos⁡D=2sin⁡C+D2⋅sin⁡D−C2]{\left[\because \cos \mathrm{C}-\cos \mathrm{D}=2 \sin \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \cdot \sin \frac{\mathrm{D}-\mathrm{C}}{2}\right] } =8cos⁡40∘sin⁡70∘−812sin⁡70∘= 8 \cos 40^{\circ} \sin 70^{\circ}-8 \frac{1}{2} \sin 70^{\circ} =4⋅(2sin⁡70∘cos⁡40∘)−4sin⁡70∘=4 \cdot\left(2 \sin 70^{\circ} \cos 40^{\circ}\right)-4 \sin 70^{\circ} =4(2sin⁡110∘+30∘2⋅cos⁡110∘−30∘2)⋅4sin⁡70∘= 4\left(2 \sin \frac{110^{\circ}+30^{\circ}}{2} \cdot \cos \frac{110^{\circ}-30^{\circ}}{2}\right) \cdot 4 \sin 70^{\circ} =4(sin⁡110∘+sin⁡30∘)−4sin⁡70∘= 4\left(\sin 110^{\circ}+\sin 30^{\circ}\right)-4 \sin 70^{\circ} [∵sin⁡C+sin⁡D=2sin⁡C+D2cos⁡C−D2]{\left[\because \sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{D}=2 \sin \frac{\mathrm{C}+\mathrm{D}}{2} \cos \frac{\mathrm{C}-\mathrm{D}}{2}\right] } =4sin⁡110∘+412−4sin⁡70∘= 4 \sin 110^{\circ}+4 \frac{1}{2}-4 \sin 70^{\circ} =4sin⁡(90∘+20∘)+2−4sin⁡(90∘−20∘)= 4 \sin \left(90^{\circ}+20^{\circ}\right)+2-4 \sin \left(90^{\circ}-20^{\circ}\right) =4cos⁡20∘+2−4⋅cos⁡20∘= 4 \cos 20^{\circ}+2-4 \cdot \cos 20^{\circ} = 2 ডানপক্ষ =cosec⁡⁡B= \operatorname{\cosec} \mathrm{B} =cosec⁡⁡30∘= \operatorname{\cosec} 30^{\circ} =2= 2 ∴16sin⁡ B3sin⁡5 B3sin⁡7 B3\therefore 16 \sin \frac{\mathrm{~B}}{3} \sin \frac{5 \mathrm{~B}}{3} \sin \frac{7 \mathrm{~B}}{3} =cosec⁡⁡B=\operatorname{\cosec} \mathrm{B}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=45∘,B=30∘\mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{B}=30^{\circ} এবং বাহু, C=3+1\mathrm{C}=\sqrt{3}+1 সে.মি. ∴∠ACB=180∘−(∠B+∠A)\therefore \angle \mathrm{ACB} =180^{\circ}-(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{A}) =180∘−(30∘+45∘)=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+45^{\circ}\right) =180∘−75∘=105∘=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ} question image ΔABC−\Delta \mathrm{ABC}- এ সাইন সূত্র প্রয়োগ করে পাই, asin⁡ A=bsin⁡ B=Csin⁡C\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{~A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{~B}}=\frac{\mathrm{C}}{\sin \mathrm{C}} বা, asin⁡45∘=bsin⁡30∘=3+1sin⁡105∘…… (i) \frac{\mathrm{a}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin 105^{\circ}} \ldots \ldots \text{ (i) } এখন, sin⁡105∘=sin⁡(60∘+45∘)\sin 105^{\circ}=\sin \left(60^{\circ}+45^{\circ}\right) =sin⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡45∘cos⁡60∘=\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}+\sin 45^{\circ} \cos 60^{\circ} [∵sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B][\because \sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B] =32⋅12+12⋅12=3+122=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}} (i) নং হতে পাই, asin⁡45∘=bsin⁡30∘=3+13+122\frac{a}{\sin 45^{\circ}}=\frac{b}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}} বা, a12=b12=3+13+122\frac{\mathrm{a}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\mathrm{b}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}} বা, 2a=2b=3+11×223+1\sqrt{2} a=2 b=\frac{\sqrt{3}+1}{1} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1} বা, 2a=2b=22\sqrt{2} a=2 b=2 \sqrt{2} ∴2a=22\therefore \sqrt{2} a=2 \sqrt{2} বা, a=2a=2 এবং 2b=222 b=2 \sqrt{2} ∴b=2\therefore b=\sqrt{2} ∴△ABC\therefore \triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল =12acsin⁡ B=\frac{1}{2} \mathrm{ac} \sin \mathrm{~B} বর্গ একক =12×2(3+1)×sin⁡30∘=\frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times \sin 30^{\circ} বর্গ একক =(3+1)×12=(\sqrt{3}+1) \times \frac{1}{2} বর্গ একক =3+12=\frac{\sqrt{3}+1}{2} বর্গ একক =1+32=\frac{1+\sqrt{3}}{2} বর্গ একক নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : 1+32\frac{1+\sqrt{3}}{2} বর্গ একক।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন