Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এবং [গণিত] সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] সে.মি. [গণিত] [চিত্র] [গণিত] এ, sine সূত্র প্রয়োগ ক [গণিত] বা, [গণিত] সে.মি. [গণিত] এর ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ সে.মি. নির্ণেয় ক্ষেত্রফল [গণিত] বর্গ সে.মি.।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

এবং সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

△ABC−\triangle \mathrm{ABC}- এ, BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c.

Chittagong · 2025

উত্তর

ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে, asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R ∴a=2Rsin⁡A\therefore a=2 R \sin A এবং b=2Rsin⁡Bb=2 R \sin B বামপক্ষ =a+ba−b=2Rsin⁡A+2Rsin⁡B2Rsin⁡A−2Rsin⁡B=\frac{a+b}{a-b} =\frac{2 R \sin A+2 R \sin B}{2 R \sin A-2 R \sin B} =2R(sin⁡A+sin⁡B)2R(sin⁡A−sin⁡B)=\frac{2 R(\sin A+\sin B)}{2 R(\sin A-\sin B)} =2sin⁡A+B2cos⁡A−B22cos⁡A+B2sin⁡A−B2=\frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} =sin⁡A+B2cos⁡A+B2⋅cos⁡A−B2sin⁡A−B2=\frac{\sin \frac{A+B}{2}}{\cos \frac{A+B}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\sin \frac{A-B}{2}}] =tan⁡A+B2⋅cot⁡A−B2==\tan \frac{A+B}{2} \cdot \cot \frac{A-B}{2}= ডানপক্ষ ∴a+ba−b=tan⁡A+B2⋅cot⁡A−B2\therefore \frac{a+b}{a-b}=\tan \frac{A+B}{2} \cdot \cot \frac{A-B}{2} (প্রমাণিত)

উত্তর

△ABC−Ω,A+B+C=π\triangle \mathrm{ABC}-\Omega, \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi C=π2\mathrm{C}=\frac{\pi}{2} হলে,A+B+π2=π\mathrm{A}+\mathrm{B}+\frac{\pi}{2}=\pi বা, A+B=π−π2=π2\mathrm{A}+\mathrm{B}=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} বা, B=π2−A\mathrm{B}=\frac{\pi}{2}-\mathrm{A} ∴B2=π4−A˚2\therefore \frac{\mathrm{B}}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\AA}{2} বামপক্ষ =(1+tan⁡A2)(1+tan⁡B2)=\left(1+\tan \frac{A}{2}\right)\left(1+\tan \frac{B}{2}\right) =(1+tan⁡A2)[1+tan⁡(π4−A2)]=\left(1+\tan \frac{A}{2}\right)\left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{A}{2}\right)\right] =(1+tan⁡A2){1+tan⁡π4−tan⁡A21+tan⁡π4tan⁡A2}=\left(1+\tan \frac{A}{2}\right)\left\{1+\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{A}{2}}\right\} [∵tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B]\left[\because \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}\right] =(1+tan⁡A2)[1+1−tan⁡A21+tan⁡A2][∵tan⁡π4=1]=\left(1+\tan \frac{A}{2}\right)\left[1+\frac{1-\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{A}{2}}\right]\left[\because \tan \frac{\pi}{4}=1\right] =(1+tan⁡A2)(1+tan⁡A2+1−tan⁡A21+tan⁡A2)=\left(1+\tan \frac{A}{2}\right)\left(\frac{1+\tan \frac{A}{2}+1-\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{A}{2}}\right) =(1+tan⁡A2)⋅2(1+tan⁡A2)=\left(1+\tan \frac{A}{2}\right) \cdot \frac{2}{\left(1+\tan \frac{A}{2}\right)} = 2 = ডানপক্ষ ∴(1+tan⁡A2)(1+tan⁡B2)=2\therefore \left(1+\tan \frac{A}{2}\right)\left(1+\tan \frac{B}{2}\right)=2. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, ∠B=45∘,∠C=60∘,a=(3+1)\angle \mathrm{B}=45^{\circ}, \angle \mathrm{C}=60^{\circ}, \mathrm{a}=(\sqrt{3}+1) সে.মি. ∴∠BAC=180∘−(∠B+∠C)\therefore \angle \mathrm{BAC} =180^{\circ}-(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}) =180∘−(45∘+60∘)=180∘−105∘=75∘=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+60^{\circ}\right)=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ} question image ΔABC−\Delta \mathrm{ABC}- এ, sine সূত্র প্রয়োগ ক csin⁡C=asin⁡A\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A} বা, c=asin⁡A⋅sin⁡Cc=\frac{a}{\sin A} \cdot \sin C =3+1sin⁡75∘⋅sin⁡60∘=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin 75^{\circ}} \cdot \sin 60^{\circ} =3+1sin⁡(45∘+30∘)⋅sin⁡60∘=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)} \cdot \sin 60^{\circ} =3+1sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘⋅32=\frac{\sqrt{3}+1}{\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =3+112⋅32+12⋅12⋅32=3+1(3+1)22⋅32=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{(\sqrt{3}+1)}{2 \sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =2232=6=2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6} সে.মি. ∴△ABC\therefore \triangle A B C এর ক্ষেত্রফল =12ac⁡sin⁡A=\frac{1}{2} \operatorname{ac} \sin A =12(3+1)6⋅sin⁡45∘=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1) \sqrt{6} \cdot \sin 45^{\circ} =12(3+1)6⋅12=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1) \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} =12(3+1)3=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1) \sqrt{3} =3+32=\frac{3+\sqrt{3}}{2} বর্গ সে.মি. নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 3+32\frac{3+\sqrt{3}}{2} বর্গ সে.মি.।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন