Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] . [গণিত] .(i) এবং [গণিত] ..(ii) [গণিত] (i) ও (ii) যোগ করে, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে,

উদ্দীপক

φ=cos⁡X\varphi=\cos \mathrm{X}.

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡π16=\sin \frac{\pi}{16} =12×2sin⁡π16=\frac{1}{2} \times 2 \sin \frac{\pi}{16} =124sin⁡2π16=\frac{1}{2} \sqrt{4 \sin^{2} \frac{\pi}{16}} =122.2sin⁡2π16=\frac{1}{2} \sqrt{2.2 \sin^{2} \frac{\pi}{16}} =122(1−cos⁡π8)=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)} =122−2cos⁡π8=\frac{1}{2} \sqrt{2-2 \cos \frac{\pi}{8}} =122−4cos⁡2π8=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{4 \cos^{2} \frac{\pi}{8}}} =122−2.2cos⁡2π8=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2.2 \cos^{2} \frac{\pi}{8}}} =122−2(1+cos⁡π4)=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)}} =122−2+2cos⁡π4=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+2 \cos \frac{\pi}{4}}} =122−2+2×12=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}} =122−2+2=\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = ডানপক্ষ (দেখান হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, φ(x)=cos⁡x\varphi(x)=\cos x ∴φ(2x)=cos⁡2x\therefore \varphi(2 x)=\cos 2 x φ(4x)=cos⁡4x\varphi(4 x)=\cos 4 x φ(8x)=cos⁡8x\varphi(8 x)=\cos 8 x φ(14x)=cos⁡14x\varphi(14 x)=\cos 14 x এবং x=π15\mathrm{x}=\frac{\pi}{15} ∴φ(2x)⋅φ(4x)⋅φ(8x)⋅φ(14x)\therefore \varphi(2 \mathrm{x}) \cdot \varphi(4 \mathrm{x}) \cdot \varphi(8 \mathrm{x}) \cdot \varphi(14 \mathrm{x}) =cos⁡2π15⋅cos⁡4π15⋅cos⁡8π15⋅cos⁡14π15=\cos \frac{2 \pi}{15} \cdot \cos \frac{4 \pi}{15} \cdot \cos \frac{8 \pi}{15} \cdot \cos \frac{14 \pi}{15} =cos⁡θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta [ধরি, 2π15=θ]\left.\frac{2 \pi}{15}=\theta\right] =12sin⁡θ⋅2sin⁡θ⋅cos⁡θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{2 \sin \theta} \cdot 2 \sin \theta \cdot \cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =12sin⁡θ⋅sin⁡2θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{2 \sin \theta} \cdot \sin 2 \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =14sin⁡θ⋅2sin⁡2θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{4 \sin \theta} \cdot 2 \sin 2 \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =14sin⁡θ⋅sin⁡4θ⋅cos⁡4θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{4 \sin \theta} \cdot \sin 4 \theta \cdot \cos 4 \theta \cdot \cos 7 \theta =18sin⁡θ⋅sin⁡8θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{8 \sin \theta} \cdot \sin 8 \theta \cdot \cos 7 \theta =116sin⁡θ⋅2sin⁡8θ⋅cos⁡7θ=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot 2 \sin 8 \theta \cdot \cos 7 \theta =116sin⁡θ⋅(sin⁡15θ+sin⁡θ)=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot(\sin 15 \theta+\sin \theta) =116sin⁡θ⋅(sin⁡2π+sin⁡θ)[2π=15θ]=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot(\sin 2 \pi+\sin \theta)[2 \pi=15 \theta] =116sin⁡θ⋅(0+sin⁡θ)=\frac{1}{16 \sin \theta} \cdot(0+\sin \theta) =sin⁡θ16sin⁡θ=\frac{\sin \theta}{16 \sin \theta} =116=\frac{1}{16} (Ans)

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x g(y)=cos⁡yg(y)=\cos y φ(π2−x)=sin⁡x\varphi\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x φ(π2−y)=sin⁡y\varphi\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=\sin y ∴pφ(x)+qφ(y)=r=pφ(π2−x)+qφ(π2−y)\therefore \mathrm{p} \varphi(\mathrm{x})+\mathrm{q} \varphi(\mathrm{y})=\mathrm{r}=\mathrm{p} \varphi\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)+\mathrm{q} \varphi\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{y}\right) বা, pcos⁡x+qcos⁡y=r=psin⁡x+qsin⁡yp \cos x+q \cos y=r=p \sin x+q \sin y ∴psin⁡x+qsin⁡y=r\therefore \mathrm{p} \sin \mathrm{x}+\mathrm{q} \sin \mathrm{y}=\mathrm{r} ⇒p2sin⁡2x+q2sin⁡2y+2pqsin⁡x⋅sin⁡y=r2\Rightarrow p^{2} \sin^{2} x+q^{2} \sin^{2} y+2 p q \sin x \cdot \sin y=r^{2}. ……….(i)\ldots\ldots\ldots.(i) এবং Pcos⁡x+qcos⁡y=rP \cos \mathrm{x}+\mathrm{q} \cos \mathrm{y}=\mathrm{r} ……..(ii)\ldots\ldots..(ii) ⇒p2cos⁡2x+q2cos⁡2y+2pqcos⁡x⋅cos⁡y=r2\Rightarrow p^{2} \cos^{2} x+q^{2} \cos^{2} y+2 p q \cos x \cdot \cos y=r^{2} (i) ও (ii) যোগ করে, p2sin⁡2x+p2cos⁡2x+q2sin⁡2y+q2cos⁡2y+2pqsin⁡x⋅sin⁡y+2pqcos⁡xp^{2} \sin^{2} x+p^{2} \cos^{2} x+q^{2} \sin^{2} y+q^{2} \cos^{2} y+2 p q \sin x \cdot \sin y+2 p q \cos x ⇒p2+q2+2pq(cos⁡x⋅cos⁡y+sin⁡x⋅sin⁡y)=2r2\Rightarrow p^{2}+q^{2}+2 p q(\cos x \cdot \cos y+\sin x \cdot \sin y)=2 r^{2} ⇒p2+q2+2pq⋅cos⁡(x−y)=2r2\Rightarrow p^{2}+q^{2}+2 p q \cdot \cos (x-y)=2 r^{2} ⇒2pq{2cos⁡212⋅(x−y)−1}=2r2−p2−q2\Rightarrow 2 p q\left\{2 \cos^{2} \frac{1}{2} \cdot(x-y)-1\right\}=2 r^{2}-p^{2}-q^{2} ⇒4pqcos⁡2x−y2=2r2−p2−q2+2pq\Rightarrow 4 p q \cos^{2} \frac{x-y}{2}=2 r^{2}-p^{2}-q^{2}+2 p q ⇒cos⁡2x−y2=2r2−(p−q)24pq\Rightarrow \cos^{2} \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}=\frac{2 \mathrm{r}^{2}-(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{2}}{4 \mathrm{pq}} ⇒cos⁡x−y2=±2r2−(p−q)24pq\Rightarrow \cos \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}= \pm \sqrt{\frac{2 \mathrm{r}^{2}-(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{2}}{4 \mathrm{pq}}} ∴φ(x−y2)=±2r2−(p−q)24pq\therefore \varphi\left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}\right)= \pm \sqrt{\frac{2 \mathrm{r}^{2}-(\mathrm{p}-\mathrm{q})^{2}}{4 \mathrm{pq}}} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে দেখাও যে, | Prosthuti