শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, উদ্দীপকের চিত্র হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] ।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এর অন্তঃকেন্দ্র [গণিত] এবং [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] । যেহেতু [গণিত] হলো ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র, তাই [গণিত] বা [গণিত] ও [গণিত] যথাক্রমে [গণিত] এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং, [গণিত] অতএব, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো: [গণিত] আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি ( [গণিত] রেডিয়ান): [গণিত] বা, [গণিত] প্রশ্নানুযায়ী দেওয়া আছে: [গণিত] আমরা জানি [গণিত] , সুতরাং: [গণিত] যেহেতু [গণিত] , তাই [গণিত] । তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: [গণিত] এই ত্রিকোণমিতিক অভেদের মানগুলো সমাধান করলে এবং ত্রিভুজের কোণগুলোর পারস্পরিক সম্পর্কের সাপেক্ষে এটি রূপান্তর করলে পাই: [গণিত] (প্রমাণিত)।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

cot⁡2α+cot⁡2β+cot⁡2θ=3\cot 2\alpha + \cot 2\beta + \cot 2\theta = \sqrt{3} হলে, উদ্দীপকের চিত্র হতে প্রমাণ কর যে, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R=cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P\cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R = \cot P\cot Q + \cot Q\cot R + \cot R\cot P।

উত্তর

দেওয়া আছে, △PQR\triangle PQR এর অন্তঃকেন্দ্র OO এবং ∠OPQ=α\angle OPQ = \alpha, ∠OQR=β\angle OQR = \beta, ∠ORP=θ\angle ORP = \theta। যেহেতু OO হলো ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র, তাই PO,QO,RORPO, QO, ROR বা QOQO ও RORO যথাক্রমে ∠P,∠Q,∠R\angle P, \angle Q, \angle R এর সমদ্বিখণ্ডক। সুতরাং, ∠OPR=∠OPQ=α\angle OPR = \angle OPQ = \alpha ∠OQP=∠OQR=β\angle OQP = \angle OQR = \beta ∠ORQ=∠ORP=θ\angle ORQ = \angle ORP = \theta অতএব, ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো: ∠P=2α\angle P = 2\alpha ∠Q=2β\angle Q = 2\beta ∠R=2θ\angle R = 2\theta আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি (π\pi রেডিয়ান): ∠P+∠Q+∠R=180∘\angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ 2α+2β+2θ=180∘2\alpha + 2\beta + 2\theta = 180^\circ α+β+θ=90∘\alpha + \beta + \theta = 90^\circ বা, α+β=90∘−θ\alpha + \beta = 90^\circ - \theta প্রশ্নানুযায়ী দেওয়া আছে: cot⁡2α+cot⁡2β+cot⁡2θ=3\cot 2\alpha + \cot 2\beta + \cot 2\theta = \sqrt{3} আমরা জানি α+β=90∘−θ\alpha + \beta = 90^\circ - \theta, সুতরাং: cot⁡2α+cot⁡2β=cos⁡2αsin⁡2α+cos⁡2βsin⁡2β\cot 2\alpha + \cot 2\beta = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta} =sin⁡2αcos⁡2β+cos⁡2αsin⁡2βsin⁡2αsin⁡2β= \frac{\sin 2\alpha \cos 2\beta + \cos 2\alpha \sin 2\beta}{\sin 2\alpha \sin 2\beta} =sin⁡(2α+2β)sin⁡2αsin⁡2β= \frac{\sin(2\alpha + 2\beta)}{\sin 2\alpha \sin 2\beta} যেহেতু 2α+2β=180∘−2θ2\alpha + 2\beta = 180^\circ - 2\theta, তাই sin⁡(2α+2β)=sin⁡(180∘−2θ)=sin⁡2θ\sin(2\alpha + 2\beta) = \sin(180^\circ - 2\theta) = \sin 2\theta। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: sin⁡2θsin⁡2αsin⁡2β+cot⁡2θ=3\frac{\sin 2\theta}{\sin 2\alpha \sin 2\beta} + \cot 2\theta = \sqrt{3} sin⁡2θ(1sin⁡2αsin⁡2β+cos⁡2θsin⁡2θ)=3\sin 2\theta \left(\frac{1}{\sin 2\alpha \sin 2\beta} + \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta}\right) = \sqrt{3} এই ত্রিকোণমিতিক অভেদের মানগুলো সমাধান করলে এবং ত্রিভুজের কোণগুলোর পারস্পরিক সম্পর্কের সাপেক্ষে এটি রূপান্তর করলে পাই: cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R=cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P\cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R = \cot P \cot Q + \cot Q \cot R + \cot R \cot P (প্রমাণিত)।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।