Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : f(x)=tan⁡xf(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x}, দৃশ্যকল্প-২: F(x)=sin⁡x\mathrm{F}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}

উত্তর

sin⁡2π7+sin⁡25π14+sin⁡28π7+sin⁡29π14=(sin⁡2π7+sin⁡25π14)+(sin⁡28π7+sin⁡29π14)={sin⁡2π7+sin⁡2(π2−π7)}+{sin⁡2(π+π7)+sin⁡2(π2+π7)}=sin⁡2π7+cos⁡2π7+sin⁡2π7+cos⁡2π7=2(sin⁡2π7+cos⁡2π7)=2.1=2\begin{aligned} & \sin^2 \frac{\pi}{7}+\sin^2 \frac{5 \pi}{14}+\sin^2 \frac{8 \pi}{7}+\sin^2 \frac{9 \pi}{14} \\ & =\left(\sin^2 \frac{\pi}{7}+\sin^2 \frac{5 \pi}{14}\right)+\left(\sin^2 \frac{8 \pi}{7}+\sin^2 \frac{9 \pi}{14}\right) \\ & =\left\{\sin^2 \frac{\pi}{7}+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right)\right\}+\left\{\sin^2\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{7}\right)\right\} \\ & =\sin^2 \frac{\pi}{7}+\cos^2 \frac{\pi}{7}+\sin^2 \frac{\pi}{7}+\cos^2 \frac{\pi}{7} \\ & =2\left(\sin^2 \frac{\pi}{7}+\cos^2 \frac{\pi}{7}\right)=2.1=2\end{aligned} নির্ণেয় মান 22

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x ∴f(α)=tan⁡α\therefore f(\alpha)=\tan \alpha ∴f(β)=tan⁡β\therefore f(\beta)=\tan \beta f(α)−f(β)=af(\alpha)-f(\beta)=a হলে, tan⁡α−tan⁡β=a\quad \tan \alpha-\tan \beta=a……(\ldots\ldots(।i) এবং 1f(β)−1f(α)=b\frac{1}{f(\beta)}-\frac{1}{f(\alpha)}=b হলে, 1tan⁡β−1tan⁡α=b\quad \frac{1}{\tan \beta}-\frac{1}{\tan \alpha}=b বা, tan⁡α−tan⁡βtan⁡α⋅tan⁡β=b\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{\tan \alpha \cdot \tan \beta}=b বা, atan⁡α⋅tan⁡β=b\frac{a}{\tan \alpha \cdot \tan \beta}=b [(i) নং হতে] ∴tan⁡α⋅tan⁡β=ab\therefore \quad \tan \alpha \cdot \tan \beta=\frac{a}{b}……..(ii)\ldots\ldots..(ii) বামপক্ষ =tan⁡(α−β)=\tan (\alpha-\beta) =tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α⋅tan⁡β=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta} [∵tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B]\left[\because \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\right] =a1+ab=\frac{a}{1+\frac{a}{b}} [(i) নং (ii) এর মান বসিয়ে] =ab+ab=aba+b==\frac{a}{\frac{b+a}{b}}=\frac{a b}{a+b}= = ডানপক্ষ ∴tan⁡(α−β)=aba+b\therefore \quad \tan (\alpha-\beta)=\frac{a b}{a+b} (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x বামপক্ষ ={f(x)}3+{f(120∘+x)}3+{f(240∘+x)}3={sin⁡x}3+{sin⁡(120∘+x)}3+{sin⁡(240∘+x}3=sin⁡3x+sin⁡3(120∘+x)+sin⁡3(240∘+x)=14{4sin⁡3x+4sin⁡3(120∘+x)+4sin⁡3(240∘+x)}=14{3sin⁡x−sin⁡3x+3sin⁡(120∘+x)−sin⁡3(120∘+x)+3sin⁡(240∘+x)−sin⁡3(240∘+x)}\begin{aligned} & =\{f(x)\}^3+\left\{f\left(120^{\circ}+x\right)\right\}^3+\left\{f\left(240^{\circ}+x\right)\right\}^3 \\ & =\{\sin x\}^3+\left\{\sin \left(120^{\circ}+x\right)\right\}^3+\left\{\sin \left(240^{\circ}+x\right\}^3\right. \\ & =\sin^3 x+\sin^3\left(120^{\circ}+x\right)+\sin^3\left(240^{\circ}+x\right) \\ & =\frac{1}{4}\left\{4 \sin^3 x+4 \sin^3\left(120^{\circ}+x\right)+4 \sin^3\left(240^{\circ}+x\right)\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{3 \sin x-\sin 3 x+3 \sin \left(120^{\circ}+x\right)-\sin 3\left(120^{\circ}+x\right)\right. \\ & \\ & \left.\quad+3 \sin \left(240^{\circ}+x\right)-\sin 3\left(240^{\circ}+x\right)\right\}\end{aligned} =14[3sin⁡x−sin⁡3x+3{sin⁡(120∘+x)+sin⁡(240∘+x)}−sin⁡(360∘+3x)−sin⁡(720∘+3x)]=14[3sin⁡x−sin⁡3x+3⋅2sin⁡(180∘+x)cos⁡60∘−sin⁡3x−sin⁡3x]=14[3sin⁡x−3sin⁡3x−3⋅2sin⁡x⋅12]=14[3sin⁡x−3sin⁡3x−3sin⁡x]=−34sin⁡3x=−34f(3x)\begin{aligned} & =\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x+3\left\{\sin \left(120^{\circ}+x\right)\right.\right. \\ & \left.\left.\quad+\sin \left(240^{\circ}+x\right)\right\}-\sin \left(360^{\circ}+3 x\right)-\sin \left(720^{\circ}+3 x\right)\right] \\ & =\frac{1}{4}\left[3 \sin x-\sin 3 x+3 \cdot 2 \sin \left(180^{\circ}+x\right) \cos 60^{\circ}-\sin 3 x-\sin 3 x\right] \\ & =\frac{1}{4}\left[3 \sin x-3 \sin 3 x-3 \cdot 2 \sin x \cdot \frac{1}{2}\right] \\ & =\frac{1}{4}[3 \sin x-3 \sin 3 x-3 \sin x]=-\frac{3}{4} \sin 3 x \\ & =\frac{-3}{4} f(3 x)\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴{f(x)}3+{f(120∘+x)}3+{f(240∘+x)}=−34{f(3x)}\therefore\{f(x)\}^3+\left\{f\left(120^{\circ}+x\right)\right\}^3+\left\{f\left(240^{\circ}+x\right)\right\}=-\frac{3}{4}\{f(3 x)\}.
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন