Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, C = 45° অথবা 135°

উত্তর: [চিত্র] দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] অতএব, C = 45° অথবা 135°. (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে, C = 45° অথবা 135°

উদ্দীপক

question image

উত্তর

আমরা জানি, tan⁡45∘=1\tan 45^{\circ}=1 বা, tan⁡(36∘+9∘)=1\tan \left(36^{\circ}+9^{\circ}\right)=1 বা, tan⁡36∘+tan⁡9∘1−tan⁡36∘tan⁡9∘=1\frac{\tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}}{1-\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ}}=1 বা, tan⁡36∘+tan⁡9∘=1−tan⁡36∘tan⁡9∘\tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}=1-\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ} ∴tan⁡36∘+tan⁡9∘+tan⁡36∘tan⁡9∘=1.\therefore \quad \tan 36^{\circ}+\tan 9^{\circ}+\tan 36^{\circ} \tan 9^{\circ}=1 . (দেখানো হলো)

উত্তর

বামপক্ষ= =cos⁡2A2+cos⁡2B2+cos⁡2C2=12(1+cos⁡2⋅A2)+12(1+cos⁡2⋅B2)+cos⁡2C2[∵2cos⁡2θ=1+cos⁡2θ]=12(2+cos⁡A+cos⁡B)+cos⁡2C2=12×2+12(cos⁡A+cos⁡B)+cos⁡2C2=1+12⋅2cos⁡(A+B2)cos⁡(A−B2)+cos⁡2C2,=1+cos⁡(π2−C2)cos⁡(A−B2)+cos⁡2C2[∵A+B+C=π]\begin{aligned} & =\cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & =\frac{1}{2}\left(1+\cos 2 \cdot \frac{A}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(1+\cos 2 \cdot \frac{B}{2}\right)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & \quad\left[\because 2 \cos^2 \theta=1+\cos 2 \theta\right] \\ & =\frac{1}{2}(2+\cos A+\cos B)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 2+\frac{1}{2}(\cos A+\cos B)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & =1+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos^2 \frac{C}{2}, \\ & =1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos^2 \frac{C}{2} \\ & \quad [\because A+B+C=\pi]\end{aligned} =1+sin⁡C2cos⁡(A−B2)+1−sin⁡2C2[∵cos⁡2A=1−sin⁡2A]\begin{aligned} &=1+\sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+1-\sin^2 \frac{C}{2} \\ & {\left[\because \cos^2 A=1-\sin^2 A\right] }\end{aligned} =2+sin⁡C2[cos⁡(A−B2)−sin⁡C2]=2+sin⁡C2[cos⁡(A−B2)−sin⁡(π2−A+B2)]=2+sin⁡C2[cos⁡(A−B2)−cos⁡(A+B2)]=2+sin⁡C2⋅2sin⁡A2⋅sin⁡B2=2+2sin⁡A2⋅sin⁡B2sin⁡C2\begin{aligned} & =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \frac{C}{2}\right] \\ & =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ & =2+\sin \frac{C}{2}\left[\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \\ & =2+\sin \frac{C}{2} \cdot 2 \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \\ & =2+2 \sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴cos⁡2A2+cos⁡2B2+cos⁡2C2=2+2sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\therefore \cos^2 \frac{A}{2}+\cos^2 \frac{B}{2}+\cos^2 \frac{C}{2}=2+2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}

উত্তর

question image দেওয়া আছে, a4+b4+c4=2c2(a2+b2)a^4+b^4+c^4=2 c^2\left(a^2+b^2\right) বা, a4+b4+c4−2c2a2−2b2c2=0a^4+b^4+c^4-2 c^2 a^2-2 b^2 c^2=0 বা, a4+b4+c4+2a2b2−2c2a2−2b2c2=2a2b2a^4+b^4+c^4+2 a^2 b^2-2 c^2 a^2-2 b^2 c^2=2 a^2 b^2 বা, (a2+b2−c2)2=2a2b2\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=2 a^2 b^2 বা, a2+b2−c2=±2ab\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2= \pm \sqrt{2} \mathrm{ab} বা, a2+b2−c22ab=±2ab2ab\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}= \pm \frac{\sqrt{2} a b}{2 a b} বা, cos⁡C=±12[∵cos⁡C=a2+b2−c22ab]\cos C= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\because \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}\right] ∴cos⁡C=12\therefore \cos C=\frac{1}{\sqrt{2}} cos⁡C=cos⁡45∘\cos C=\cos 45^{\circ} ∴C=45∘\therefore C=45^{\circ} অথবা, cos⁡C=−12\cos C=-\frac{1}{\sqrt{2}} বা, cos⁡C=cos⁡135∘\cos C=\cos 135^{\circ} ∴C=135∘\therefore C=135^{\circ} অতএব, C = 45° অথবা 135°. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
হলে দেখাও যে, C = 45° অথবা 135° | Prosthuti