Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর, [গণিত] যেখানে [গণিত] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ত্রিভুজে, [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর, যেখানে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}. উদ্দীপক-২ : ABC একটি ত্রিভুজ এবং g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴f(2 A)=cos⁡2 A\therefore f(2 \mathrm{~A})=\cos 2 \mathrm{~A} বামপক্ষ =2(2cos⁡2A2−1)2−1=2\left(2 \cos^2 \frac{A}{2}-1\right)^2-1 [∵cos⁡θ=2cos⁡2θ2−1]\left[\because \cos \theta=2 \cos^2 \frac{\theta}{2}-1\right] =2(4cos⁡4A2−4cos⁡2A2+1)−1=2\left(4 \cos^4 \frac{A}{2}-4 \cos^2 \frac{A}{2}+1\right)-1 =8cos⁡4(A2)−8cos⁡2(A2)+2−1=8 \cos^4\left(\frac{A}{2}\right)-8 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)+2-1 =8cos⁡4(A2)−8cos⁡2(A2)+1==8 \cos^4\left(\frac{A}{2}\right)-8 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)+1= ডানপক্ষ ∴f(2A)=8cos⁡4(A2)−8cos⁡2(A2)+1.\therefore f(2 A)=8 \cos^4\left(\frac{A}{2}\right)-8 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)+1 . (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x বামপক্ষ ={f(x)}3+{{(120∘+x)}3+{f(240∘+x)}3=\{f(x)\}^3+\left\{\left\{\left(120^{\circ}+x\right)\right\}^3+\left\{f\left(240^{\circ}+x\right)\right\}^3\right. =cos⁡3x+cos⁡3(120∘+x)+cos⁡3(240∘+x)=\cos^3 x+\cos^3\left(120^{\circ}+x\right)+\cos^3\left(240^{\circ}+x\right) =14{4cos⁡3x+4cos⁡3(120∘+x)+4cos⁡3(240∘+x)}=\frac{1}{4}\left\{4 \cos^3 x+4 \cos^3\left(120^{\circ}+x\right)+4 \cos^3\left(240^{\circ}+x\right)\right\} =14{cos⁡3x+3cos⁡x+cos⁡3(120∘+x)+3cos⁡(120∘+x)=\frac{1}{4}\left\{\cos 3 x+3 \cos x+\cos 3\left(120^{\circ}+x\right)+3 \cos \left(120^{\circ}+x\right)\right. +cos⁡3(240∘+x)+3cos⁡(240∘+x)}\left.+\cos 3\left(240^{\circ}+x\right)+3 \cos \left(240^{\circ}+x\right)\right\} =14[cos⁡3x+3cos⁡x+cos⁡(720∘+3x)+cos⁡(360∘+3x)=\frac{1}{4}\left[\cos 3 x+3 \cos x+\cos \left(720^{\circ}+3 x\right)+\cos \left(360^{\circ}+3 x\right)\right. +3{cos⁡(240∘+x)+cos⁡(120∘+x)}]\left.+3\left\{\cos \left(240^{\circ}+x\right)+\cos \left(120^{\circ}+x\right)\right\}\right] =14{cos⁡3x+3cos⁡x+2cos⁡(540∘+3x)cos⁡180∘=\frac{1}{4}\left\{\cos 3 x+3 \cos x+2 \cos \left(540^{\circ}+3 x\right) \cos 180^{\circ}\right. +3.2cos⁡(180∘+x)cos⁡60∘}\left.+3.2 \cos \left(180^{\circ}+x\right) \cos 60^{\circ}\right\} =14(cos⁡3x+3cos⁡x+2cos⁡3x⋅1−3.2cos⁡x⋅12)=\frac{1}{4}\left(\cos 3 x+3 \cos x+2 \cos 3 x \cdot 1-3.2 \cos x \cdot \frac{1}{2}\right) =14(cos⁡3x+3cos⁡x+2cos⁡3x−3cos⁡x)=\frac{1}{4}(\cos 3 x+3 \cos x+2 \cos 3 x-3 \cos x) =14×3cos⁡3x=34cos⁡3x=34f(3x)==\frac{1}{4} \times 3 \cos 3 x=\frac{3}{4} \cos 3 x=\frac{3}{4} f(3 x)= ডানপক্ষ ∴{f(x)}2+{{(120∘+x)}3+{(240∘+x)}3=34f(3x)\therefore\{f(\mathrm{x})\}^2+\left\{\left\{\left(120^{\circ}+\mathrm{x}\right)\right\}^3+\left\{\left(240^{\circ}+\mathrm{x}\right)\right\}^3=\frac{3}{4} f(3 \mathrm{x})\right. প্রমাণিত)

উত্তর

বামপক্ষ =g(A+B−C)+g(B+C−A)=g(A+B-C)+g(B+C-A) +g(C+A−B)+g(C+A-B) =sin⁡(A˙+B−C)+sin⁡(B+C−A)=\sin (\dot{A}+B-C)+\sin (B+C-A) +sin⁡(C+A−B)+\sin (C+A-B) =sin⁡{(A+B+C)−2C}=\sin \{(A+B+C)-2 C\} +sin⁡{(A+B+C)−2A}+\sin \{(A+B+C)-2 A\} +sin⁡{(A+B+C)−2B}+\sin \{(A+B+C)-2 B\} =sin⁡(π−2C)+sin⁡(π−2A)+sin⁡(π−2B)=\sin (\pi-2 C)+\sin (\pi-2 A)+\sin (\pi-2 B) [∵ABC[\because \mathrm{ABC} ত্রিভুজে, ∠A+∠B+∠C=π]\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=\pi] =sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C =2sin⁡2A+2B2cos⁡2A−2B2+sin⁡2C=2 \sin \frac{2 A+2 B}{2} \cos \frac{2 A-2 B}{2}+\sin 2 C =2sin⁡(A+B)cos⁡(A−B)+sin⁡2C=2 \sin (A+B) \cos (A-B)+\sin 2 C =2sin⁡(π−C)cos⁡(A−B)+sin⁡2C=2 \sin (\pi-C) \cos (A-B)+\sin 2 C =2sin⁡Ccos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C=2 \sin C \cos (A-B)+2 \sin C \cos C =2sin⁡C{cos⁡(A−B)+cos⁡C}=2 \sin C\{\cos (A-B)+\cos C\} =2sin⁡C{cos⁡(A−B)+cos⁡(π−A−B)}=2 \sin C\{\cos (A-B)+\cos (\pi-A-B)\} =2sin⁡C{cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)}=2 \sin C\{\cos (A-B)-\cos (A+B)\} =2sin⁡′C×2sin⁡Asin⁡B=2 \sin^{\prime} C \times 2 \sin A \sin B =4sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=4×2Δbc×2Δca×2Δab=4 \sin A \sin B \sin C=4 \times \frac{2 \Delta}{b c} \times \frac{2 \Delta}{c a} \times \frac{2 \Delta}{a b} [∵Δ=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡B]{\left[\because \Delta=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B\right]} =32Δ3a2b2c2==\frac{32 \Delta^3}{a^2 b^2 c^2}= ডানপক্ষ ∴g( A+B−C)+g( B+C−A˙)+g(C+A−B)=\therefore \mathrm{g}(\mathrm{~A}+\mathrm{B}-\mathrm{C})+\mathrm{g}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}-\dot{\mathrm{A}})+\mathrm{g}(\mathrm{C}+\mathrm{A}-\mathrm{B})= 32Δ3a2 b2c2.\frac{32 \Delta^3}{\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}^2 \mathrm{c}^2} . (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন