Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বা, [গণিত] বाমপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

(i) A=P+120∘\mathrm{A}=\mathrm{P}+120^{\circ} এরং B=P−120∘\mathrm{B}=\mathrm{P}-120^{\circ} (ii) 2M=15∘2 \mathrm{M}=15^{\circ}.

উত্তর

বামপক্ষ =3cos⁡70∘−1sin⁡70∘=\frac{\sqrt{3}}{\cos 70^{\circ}}-\frac{1}{\sin 70^{\circ}} =3sin⁡70∘−cos⁡70∘sin⁡70∘cos⁡70∘=32sin⁡70∘−12cos⁡70∘12sin⁡70∘⋅cos⁡70∘=\frac{\sqrt{3} \sin 70^{\circ}-\cos 70^{\circ}}{\sin 70^{\circ} \cos 70^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 70^{\circ}-\frac{1}{2} \cos 70^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 70^{\circ} \cdot \cos 70^{\circ}} =cos⁡30∘sin⁡70∘−sin⁡30∘cos⁡70∘14⋅2sin⁡70∘cos⁡70∘=\frac{\cos 30^{\circ} \sin 70^{\circ}-\sin 30^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\frac{1}{4} \cdot 2 \sin 70^{\circ} \cos 70^{\circ}} =sin⁡(70∘−30∘)14sin⁡140∘=4sin⁡40∘sin⁡(180∘−40∘)=4sin⁡40∘sin⁡40∘=4=\frac{\sin \left(70^{\circ}-30^{\circ}\right)}{\frac{1}{4} \sin 140^{\circ}}=\frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin \left(180^{\circ}-40^{\circ}\right)}=\frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=4 ডানপক্ষ =sec⁡2π3=(sec⁡π3)2=(2)2=4=\sec^2 \frac{\pi}{3}=\left(\sec \frac{\pi}{3}\right)^2=(2)^2=4 ∴3cos⁡70∘−1sin⁡70∘=sec⁡2π3\therefore \quad \frac{\sqrt{3}}{\cos 70^{\circ}}-\frac{1}{\sin 70^{\circ}}=\sec^2 \frac{\pi}{3} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=P+120∘\mathrm{A}=\mathrm{P}+120^{\circ} রবং B=P−120∘\mathrm{B}=\mathrm{P}-120^{\circ} বামপক্ষ =cos⁡2 A+cos⁡2 B+cos⁡2P=\cos^2 \mathrm{~A}+\cos^2 \mathrm{~B}+\cos^2 \mathrm{P} =cos⁡2(P+120∘)+cos⁡2(P−120∘)+cos⁡2P=\cos^2\left(\mathrm{P}+120^{\circ}\right)+\cos^2\left(\mathrm{P}-120^{\circ}\right)+\cos^2 \mathrm{P} =cos⁡2(P+120∘)+1−sin⁡2(P−120∘)+cos⁡2P=\cos^2\left(\mathrm{P}+120^{\circ}\right)+1-\sin^2\left(\mathrm{P}-120^{\circ}\right)+\cos^2 \mathrm{P} =1+cos⁡2P+cos⁡2(P+120∘)−sin⁡2(P−120∘)=1+\cos^2 \mathrm{P}+\cos^2\left(\mathrm{P}+120^{\circ}\right)-\sin^2\left(\mathrm{P}-120^{\circ}\right) =1+cos⁡2P+cos⁡2Pcos⁡240∘=1+\cos^2 \mathrm{P}+\cos 2 \mathrm{P} \cos 240^{\circ} [∵cos⁡2 A−sin⁡2 B=cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)]\quad\left[\because \cos^2 \mathrm{~A}-\sin^2 \mathrm{~B}=\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B}) \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})\right] =1+12(2cos⁡2P)+cos⁡2Pcos⁡240∘=1+\frac{1}{2}\left(2 \cos^2 \mathrm{P}\right)+\cos 2 \mathrm{P} \cos 240^{\circ} =1+12(1+cos⁡2P)+cos⁡2Pcos⁡240∘=1+\frac{1}{2}(1+\cos 2 \mathrm{P})+\cos 2 \mathrm{P} \cos 240^{\circ} [∵1+cos⁡2 A=2cos⁡2 A]\quad\left[\because 1+\cos 2 \mathrm{~A}=2 \cos^2 \mathrm{~A}\right] =1+12+12cos⁡2P−12cos⁡2P[∵cos⁡240∘=−12]=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 \mathrm{P}-\frac{1}{2} \cos 2 \mathrm{P} \quad\left[\because \cos 240^{\circ}=-\frac{1}{2}\right] =32=5=\frac{3}{2}=5 ডানপক্ষ ∴cos⁡2 A+cos⁡2 B+cos⁡2P=32.\therefore \quad \cos^2 \mathrm{~A}+\cos^2 \mathrm{~B}+\cos^2 \mathrm{P}=\frac{3}{2} .

উত্তর

দেওয়া আছে, 2M=15∘2 \mathrm{M}=15^{\circ} বা, M=(152)∘=(712)∘=7∘30′M=\left(\frac{15}{2}\right)^{\circ}=\left(7 \frac{1}{2}\right)^{\circ}=7^{\circ} 30^{\prime} বाমপক্ষ =cot⁡M=cot⁡7∘30′=cos⁡7∘30′sin⁡7∘30′= \cot M=\cot 7^{\circ} 30^{\prime}=\frac{\cos 7^{\circ} 30^{\prime}}{\sin 7^{\circ} 30^{\prime}} =2cos⁡27∘30′2sin⁡7∘30′cos⁡7∘30′=1+cos⁡15∘sin⁡15∘= \frac{2 \cos^2 7^{\circ} 30^{\prime}}{2 \sin 7^{\circ} 30^{\prime} \cos 7^{\circ} 30^{\prime}}=\frac{1+\cos 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} [∵2cos⁡2θ=1+cos⁡2θ এবং 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ]{\left[\because 2 \cos^2 \theta=1+\cos 2 \theta \text{ এবং } 2 \sin \theta \cos \theta=\sin 2 \theta\right] } =1+cos⁡(45∘−30∘)sin⁡(45∘−30∘)= \frac{1+\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)}{\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)} =1+cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘= \frac{1+\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}} =1+12×32+12×1212×32−12×12=1+322+122322−122=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}} =22+3+1223−122=22+3+122×223−1=\frac{\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}}=\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} =22+3+13−1=(22+3+1)(3+1)(3−1)(3+1)=\frac{2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} =26+22+3+3+3+1(3)2−(1)2=\frac{2 \sqrt{6}+2 \sqrt{2}+3+\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-(1)^2} =26+23+22+43−1=2(6+3+2+2)2=\frac{2 \sqrt{6}+2 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}+4}{3-1}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2)}{2} =6+3+2+2=2+3+6+2==\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2= ডানপক্ষ ∴cot⁡M=2+3+6+2\therefore \quad \cot M=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2 (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন