Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] ত্রিডুজে [গণিত] [চিত্র] ডানপক্ষ [গণিত] যেখানে R হচ্ছে ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ অনুযায়ী প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২ : (a−bcos⁡2α)=P(a-b \cos 2 \alpha)=P এবং (a−bcos⁡2β)=Q(a-b \cos 2 \beta)=Q

উত্তর

চিত্রে, △ABC\triangle \mathrm{ABC} এ A+B+C=πA+B+C=\pi বा, A+B=π−CA+B=\pi-C ∴tan⁡(A+B)=tan⁡(π−C)\therefore \tan (A+B)=\tan (\pi-C) বা, tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B=−tan⁡C\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=-\tan C বা, tan⁡A+tan⁡B=−tan⁡C+tan⁡Atan⁡B⋅tan⁡C\tan A+\tan B=-\tan C+\tan A \tan B \cdot \tan C ∴tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡Atan⁡Btan⁡C.\therefore \tan A+\tan B+\tan C=\tan A \tan B \tan C .

উত্তর

দেওয়া আছ, a−bcos⁡2α=Pa-b \cos 2 \alpha=P এবং a−bcos⁡2β=Qa-b \cos 2 \beta=Q এবং tan⁡α⋅tan⁡β=a−ba+b\tan \alpha \cdot \tan \beta=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} বা, tan⁡2α⋅tan⁡2β=a−ba+b\tan^{2} \alpha \cdot \tan^{2} \beta=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}} [বর্গ করে] বা, tan⁡2β×(a+b)=(a−b)2tan⁡2α\tan^{2} \beta \times(a+b)=\frac{(a-b)^{2}}{\tan^{2} \alpha} ∴(a+b)tan⁡2β=(a−b)cot⁡2α\therefore \quad(a+b) \tan^{2} \beta=(a-b) \cot^{2} \alpha বামপক্ষ =PQ=(a−bcos⁡2α)(a−bcos⁡2β)=P Q=(a-b \cos 2 \alpha)(a-b \cos 2 \beta) =(a−bcos⁡2α){a−b⋅1−tan⁡2β1+tan⁡2β}=(\mathrm{a}-\mathrm{b} \cos 2 \alpha)\left\{\mathrm{a}-\mathrm{b} \cdot \frac{1-\tan^{2} \beta}{1+\tan^{2} \beta}\right\} =(a−bcos⁡2α){a−b(a+b)−(a+b)tan⁡2β(a+b)+(a+b)tan⁡2β}=(a-b \cos 2 \alpha)\left\{a-b \frac{(a+b)-(a+b) \tan^{2} \beta}{(a+b)+(a+b) \tan^{2} \beta}\right\} =(a−bcos⁡2α){a−ba+b−(a−b)cot⁡2αa+b+(a−b)cot⁡2α}=(a-b \cos 2 \alpha)\left\{a-b \frac{a+b-(a-b) \cot^{2} \alpha}{a+b+(a-b) \cot^{2} \alpha}\right\} [মান বসিয়ে] =(a−bcos⁡2α){a2+ab+a2cot⁡2α−abcot⁡2α−ab−b2+abcot⁡2α−b2cot⁡2α(a+b)+(a−b)cos⁡2α}=(a-b \cos 2 \alpha)\left\{\frac{a^{2}+a b+a^{2} \cot^{2} \alpha-a b \cot^{2} \alpha-a b-b^{2}+a b \cot^{2} \alpha-b^{2} \cot^{2} \alpha}{(a+b)+(a-b) \cos^{2} \alpha}\right\} =(a−bcos⁡2α){a2(1+cot⁡2α)−b2(1+cot⁡2α)(a+b)+(a−b)cot⁡2α}=(a-b \cos 2 \alpha)\left\{\frac{a^{2}\left(1+\cot^{2} \alpha\right)-b^{2}\left(1+\cot^{2} \alpha\right)}{(a+b)+(a-b) \cot^{2} \alpha}\right\} =(a−bcos⁡2α){(a2−b2)(1+cot⁡2α)(a+b)+(a−b)cot⁡2α}=(a-b \cos 2 \alpha)\left\{\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(1+\cot^{2} \alpha\right)}{(a+b)+(a-b) \cot^{2} \alpha}\right\} =(a−bcos⁡2α){a2−b2a(1+cot⁡2α)−b(cot⁡2α−1)1+cot⁡2α}=(a-b \cos 2 \alpha)\left\{\frac{a^{2}-b^{2} a\left(1+\cot^{2} \alpha\right)-b\left(\cot^{2} \alpha-1\right)}{1+\cot^{2} \alpha}\right\} =(a−bcos⁡2α)(a2−b2)a−b⋅1−tan⁡2α1+tan⁡2α=(a−bcos⁡2α)(a2−b2)(a−bcos⁡2α)=a2−b2=\frac{(a-b \cos 2 \alpha)\left(a^{2}-b^{2}\right)}{a-b \cdot \frac{1-\tan^{2} \alpha}{1+\tan^{2} \alpha}}=\frac{(a-b \cos 2 \alpha)\left(a^{2}-b^{2}\right)}{(a-b \cos 2 \alpha)}=a^{2}-b^{2} = ডানপক্ষ ∴PQ=a2−b2\therefore \quad \mathrm{PQ}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}. (দেখানো হলো)

উত্তর

ABCA B C ত্রিডুজে AB=cA B=c BC=aB C=a AC=bA C=b A+B+C=πA+B+C=\pi question image ডানপক্ষ =(AC−AB)(1+cos⁡A)= (A C-A B)(1+\cos A) =(b−c)⋅2cos⁡2A2=2a⋅b−ca⋅cos⁡2A2= (b-c) \cdot 2 \cos^2 \frac{A}{2}=2 a \cdot \frac{b-c}{a} \cdot \cos^2 \frac{A}{2} =2a⋅2Rsin⁡B−2Rsin⁡C2Rsin⁡A⋅cos⁡2A2= 2 a \cdot \frac{2 R \sin B-2 R \sin C}{2 R \sin A} \cdot \cos^2 \frac{A}{2} [∵ΔABC−Θasin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R;{\left[\because \Delta A B C-\Theta \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R ;\right.} যেখানে R হচ্ছে ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ] =2a⋅sin⁡B−sin⁡Csin⁡A⋅cos⁡2A2=2 a \cdot \frac{\sin B-\sin C}{\sin A} \cdot \cos^2 \frac{A}{2} =2a⋅2cos⁡B+C2⋅sin⁡B−C2sin⁡A⋅cos⁡2A2=2 a \cdot \frac{2 \cos \frac{B+C}{2} \cdot \sin \frac{B-C}{2}}{\sin A} \cdot \cos^2 \frac{A}{2} =2a⋅2cos⁡π−A2⋅sin⁡B−C22sin⁡A2⋅cos⁡A2⋅cos⁡2A2[∵A+B+C=π]=2 a \cdot \frac{2 \cos \frac{\pi-A}{2} \cdot \sin \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cdot \cos \frac{A}{2}} \cdot \cos^2 \frac{A}{2}[\because A+B+C=\pi] =2a⋅sin⁡A2⋅sin⁡B−C2sin⁡A2⋅cos⁡A2=2a⋅sin⁡B−C2⋅cos⁡A2=2 a \cdot \frac{\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}} \cdot \cos \frac{A}{2}=2 a \cdot \sin \frac{B-C}{2} \cdot \cos \frac{A}{2} =2a⋅sin⁡B−C2⋅cos⁡π−(B+C)2[∵A+B+C=π]=2 a \cdot \sin \frac{B-C}{2} \cdot \cos \frac{\pi-(B+C)}{2}[\because A+B+C=\pi] =2a⋅sin⁡B−C2⋅sin⁡B+C2=a(2sin⁡C+B2⋅sin⁡B−C2)=2 a \cdot \sin \frac{B-C}{2} \cdot \sin \frac{B+C}{2}=a\left(2 \sin \frac{C+B}{2} \cdot \sin \frac{B-C}{2}\right) =a⋅(cos⁡C−cos⁡B)=acos⁡C−acos⁡B=a \cdot(\cos C-\cos B)=a \cos C-a \cos B =BCcos⁡C−BCcos⁡B==B C \cos C-B C \cos B= ডানপক্ষ ∴BCcos⁡C−BCcos⁡B=(AC−AB)(1+cos⁡A)\therefore \quad B C \cos C-B C \cos B=(A C-A B)(1+\cos A). (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 7: সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর পরিব্যাসার্ধ R.

Sylhet · 2017

ক
A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।
খ
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).
গ
△PQS\triangle \mathrm{PQS} এর ক্ষেত্রে- 1PQ+PS=3PS+PQ+QS−\frac{1}{\mathrm{PQ}+\mathrm{PS}}=\frac{3}{\mathrm{PS}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QS}}- 1PS+QS\frac{1}{\mathrm{PS}+\mathrm{QS}} হলে ∠Q\angle \mathrm{Q} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, a2+b2+c2=8R2(1+cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2=8 \mathrm{R}^2(1+\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

A+B=105∘\mathrm{A}+\mathrm{B}=105^{\circ} হলে sinC⁡\operatorname{sinC} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দৃশ্যকল্প-২: f(x)=12sin⁡x2. \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin \frac{\mathrm{x}}{2} \text{. }

Sylhet · 2017

ক
cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}
গ
দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে f(2π−4θ)\mathrm{f}(2 \pi-4 \theta) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

দৃশ্যকল্প-১ এ যদি cos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z} হয়, তাহলে প্রমাণ কর ∠X+∠Y=∠Z\angle \mathrm{X}+\angle \mathrm{Y}=\angle \mathrm{Z}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

cos⁡74∘33′cos⁡14∘33′+cos⁡75∘27′cos⁡15∘27′\cos 74^{\circ} 33^{\prime} \cos 14^{\circ} 33^{\prime}+\cos 75^{\circ} 27^{\prime} \cos 15^{\circ} 27^{\prime} এর মান বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

∠E+∠F=65∘,∠F−∠E=25∘\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{F}=65^{\circ}, \angle \mathrm{F}-\angle \mathrm{E}=25^{\circ}

Jessore · 2017

ক
tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.
গ
দেখাও যে, tan⁡∠E⋅tan⁡2∠E⋅tan⁡3∠E⋅tan⁡4∠E=3\tan \angle \mathrm{E} \cdot \tan 2 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 3 \angle \mathrm{E} \cdot \tan 4 \angle \mathrm{E}=3.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

দেখাও যে, 2sin⁡(π+F4)=−2−2+22 \sin \left(\pi+\frac{F}{4}\right)=-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

tan⁡β=13\tan \beta=\frac{1}{3} হলে, sin⁡2β\sin 2 \beta এর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: △XYZΩcos⁡X=sin⁡Y−cos⁡Z\triangle \mathrm{XYZ} \Omega \cos \mathrm{X}=\sin \mathrm{Y}-\cos \mathrm{Z}. দৃশ্যকল্প-২: 1+n⋅tan⁡α2=1−n⋅tan⁡β2\sqrt{1+\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{1-\mathrm{n}} \cdot \tan \frac{\beta}{2}

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡β=cos⁡α−n1−ncos⁡α\cos \beta=\frac{\cos \alpha-\mathrm{n}}{1-\mathrm{n} \cos \alpha}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡75∘=2+3\tan 75^{\circ}=2+\sqrt{3}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[গণিত] এর ক্ষেত্রে- [গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] এর ক্ষেত্রে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে [গণিত] এর লেখচিত্র অঙ্কন কর। যেখানে [গণিত] .দৃশ্যকল্প-১ এ যদি [গণিত] হয়, তাহলে প্রমাণ কর [গণিত][গণিত] এর মান বের কর।দেখাও যে, [গণিত] .দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] এর মান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে দেখাও যে, [গণিত]দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, ত্রিভুজটি সমকোণী।প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন