Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর বলগুলির যে কোন সাধারণ দিকের জন্য এদের লব্ধি উক্ত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্রগামী হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] এখানে, ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দুতে যথাক্রমে P, Q, R মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। A, B, C কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখন্ডক তিনটি পরস্পর [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, [গণিত] হলো ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র। এখন, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R বলের লব্ধি (Q+ R) বলটি BC রেখাস্থ D বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র। বিন্দুগামী। সুতরাং, I বিন্দু AD রেখার উপর অবস্থান করবে। অর্থাৎ, AD রেখা A কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। [গণিত] . (1) কিন্তু লব্ধি D বিন্দুগামী হওয়ায়, [গণিত] বা, [গণিত] . (2) (1) ও (2)নং হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, [গণিত] বা [গণিত] .. (3) আবার, [গণিত] হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই, [গণিত] (3) ও (4)নং হতে পাই, [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর বলগুলির যে কোন সাধারণ দিকের জন্য এদের লব্ধি উক্ত ত্র…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: PP ও Q(P>Q)Q(P > Q) বলদ্বয়ের ক্রিয়ারেখার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ 0. দৃশ্যকল্প-২: ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C তে যথাক্রমে P, Q, R মানের তিনটি সদৃশ্য সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত।

উত্তর

কযেহেতু 1,2,3 kg1,2, \sqrt{3} \mathrm{~kg} ওজনবিশিষ্ট বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করে। সুতরাং যেকোনো দুইটি বলের লব্ধি হবে তৃতীয় বলটি। question image 1,2kg1, 2 kg ওজন বলদ্বয়ের লব্ধি 3kg\sqrt{3} kg ওজন। ∴12+22+2⋅1⋅2cos⁡α=(3)2\therefore \quad 1^2+2^2+2 \cdot 1 \cdot 2 \cos \alpha=(\sqrt{3})^2 বা, 5+4cos⁡α=35+4 \cos \alpha=3 বা, 4cos⁡α=−24 \cos \alpha=-2 বা, cos⁡α=−12\cos \alpha=\frac{-1}{2} বা, cos⁡α=cos⁡120∘\cos \alpha=\cos 120^{\circ} বা, α=120∘\alpha=120^{\circ} আবার, 2,3 kg2, \sqrt{3} \mathrm{~kg} ওজন বলদ্বয়ের লব্ধি 1 kg ওজন। ∴22+(3)2+2⋅2⋅3cos⁡β=1\therefore \quad 2^2+(\sqrt{3})^2+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cos \beta=1 বা. 7+43cos⁡β=17+4 \sqrt{3} \cos \beta=1 বা, 43cos⁡β=−64 \sqrt{3} \cos \beta=-6 বা, cos⁡β=−643\cos \beta=\frac{-6}{4 \sqrt{3}} বा, cos⁡β=−32\cos \beta=\frac{-\sqrt{3}}{2} বা, cos⁡β=cos⁡150∘\cos \beta=\cos 150^{\circ} বা, β=150∘\beta=150^{\circ} ∴γ=360∘−120∘−150∘=90∘\therefore \quad \gamma=360^{\circ}-120^{\circ}-150^{\circ}=90^{\circ} ∴\therefore \quad বলগুলোর মধ্যবর্তী কোণগুলো হলো : 120∘,150∘,90∘120^{\circ}, 150^{\circ}, 90^{\circ}.

উত্তর

question image ধরি, P ও Q(P>Q)\mathrm{Q}(\mathrm{P}>\mathrm{Q}) বলদ্বয়ের লব্ধি =R=R আবার, OD, ∠AOB\angle \mathrm{AOB} এর সমদ্বিখণ্ডক। OD ও R এর মধ্যবর্তী কোণ =β=\beta. লব্ধি R,PR, P এর সাথে (θ2−β)\left(\frac{\theta}{2}-\beta\right) কোণে ক্রিয়ারত। P ও Q বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে আমরা পাই,, φ=α−(θ2−β)−(θ2−β)=2β\varphi=\alpha-\left(\frac{\theta}{2}-\beta\right)-\left(\frac{\theta}{2}-\beta\right)=2 \beta বা, β=φ2\beta=\frac{\varphi}{2} ১ম ক্ষেত্রে: OD বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, Rcos⁡β=Pcos⁡θ2+Qcos⁡θ2=(P+Q)cos⁡θ2R \cos \beta=P \cos \frac{\theta}{2}+Q \cos \frac{\theta}{2}=(P+Q) \cos \frac{\theta}{2} ……(1)\ldots\ldots (1) ২য় ক্ষেত্রে: OD বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, Rsin⁡β=Psin⁡θ2+Qsin⁡(−θ2)=(P−Q)sin⁡θ2R \sin \beta=P \sin \frac{\theta}{2}+Q \sin \left(-\frac{\theta}{2}\right)=(P-Q) \sin \frac{\theta}{2}
……(2)(2)\ldots\ldots (2) (2)
নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই, tan⁡β=P−QP+Qtan⁡θ2∴tan⁡φ2=P−QP+Qtan⁡θ2\tan \beta=\frac{P-Q}{P+Q} \tan \frac{\theta}{2} \therefore \tan \frac{\varphi}{2}=\frac{P-Q}{P+Q} \tan \frac{\theta}{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image এখানে, ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দুতে যথাক্রমে P, Q, R মানের তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত আছে। A, B, C কোণগুলোর অন্তর্দ্বিখন্ডক তিনটি পরস্পর II বিন্দুতে ছেদ করেছে। তাহলে, II হলো ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র। এখন, B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R বলের লব্ধি (Q+ R) বলটি BC রেখাস্থ D বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, বল তিনটির লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র। বিন্দুগামী। সুতরাং, I বিন্দু AD রেখার উপর অবস্থান করবে। অর্থাৎ, AD রেখা A কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। ∴BDCD=ABAC\therefore \quad \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} …….(1)\ldots\ldots. (1) কিন্তু লব্ধি D বিন্দুগামী হওয়ায়, Q.BD=R.CD\mathrm{Q} . \mathrm{BD}=\mathrm{R} . \mathrm{CD} বা, BDCD=RQ\frac{B D}{C D}=\frac{R}{Q}
…….(2)(1)\ldots\ldots. (2) (1)
ও (2)নং হতে পাই, RQ=ABAC\frac{R}{Q}=\frac{A B}{A C} বা, QAC=RAB\frac{Q}{A C}=\frac{R}{A B} অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, PBC=QAC\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{AC}} ∴PBC=QAC=RAB\therefore \quad \frac{P}{B C}=\frac{Q}{A C}=\frac{R}{A B} বা ,Pa=Qb=Rc, \frac{P}{a}=\frac{Q}{b}=\frac{R}{c} ……..(3)\ldots\ldots.. (3) আবার, △ABC\triangle \mathrm{ABC} হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই, asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} (3) ও (4)নং হতে পাই, Psin⁡A=Qsin⁡B=Rsin⁡C\frac{P}{\sin A}=\frac{Q}{\sin B}=\frac{R}{\sin C} ∴P:Q:R=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C\therefore \quad \mathrm{P}: \mathbf{Q}: \mathbf{R}=\sin \mathrm{A}: \sin \mathrm{B}: \sin \mathrm{C}. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন