Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

বলগুলো সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: মনে করি, একটি কণার উপর [গণিত] মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। [গণিত] ও [গণিত] ও [গণিত] এবং [গণিত] ও [গণিত] এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে [গণিত] । [চিত্র] বলত্রয় সাম্যবস্থায় থাকলে, এদের লব্ধি শূন্য। [গণিত] বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নং ও [গণিত] নং হতে পাই, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

বলগুলো সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

কোনো কণার উপর P1,P2,P3\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। P2\mathrm{P}_2 ও P3,P3\mathrm{P}_3, \mathrm{P}_3 ও P1\mathrm{P}_1 এবং P1\mathrm{P}_1 ও P2\mathrm{P}_2 এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে α,β,γ.\alpha, \beta, \gamma.

Dhaka · 2025

উত্তর

মনে করি, AB = 5 মিটার রডের A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে 15 N ও 10 N সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় কার্যরত আছে। বলদ্বয়ের লব্ধি বৃহত্তম বল 15 N হতে AC = x মিটার দূরে C বিন্দুতে ক্রিয়া করে। question image BC=AB−AC=(7−x)\mathrm{BC}=\mathrm{AB}-\mathrm{AC}=(7-\mathrm{x}) মিটার এখন, 15⋅AC=10⋅BC15 \cdot \mathrm{AC}=10 \cdot \mathrm{BC} বা, 15x=10(5−x)15 x=10(5-x) বা, 15x=50−10x15 \mathrm{x}=50-10 \mathrm{x} বা, 15x+10x=5015 \mathrm{x}+10 \mathrm{x}=50 বা, 25x=5025 x=50 বা, x=5025x=\frac{50}{25} ∴x=2\therefore \quad x=2 ∴\therefore বৃহত্তর বল হতে লব্ধি 2 মিটার দূরে ক্রিয়া করে।

উত্তর

মনে করি, একটি কণার উপর P1,P2,P3\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। P2\mathrm{P}_2 ও P3,P3\mathrm{P}_3, \mathrm{P}_3 ও P1\mathrm{P}_1 এবং P1\mathrm{P}_1 ও P2\mathrm{P}_2 এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে α,β\alpha, \beta এবং γ\gamma । question image বলগুলোর লব্ধি RR যা P1P_1 এর সাথে θ\theta কোণে ক্রিয়াশীল P1P_1 বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, Rcos⁡θ=P1cos⁡0∘+P2cos⁡γ+P3cos⁡(−β)R \cos \theta=P_1 \cos 0^{\circ}+P_2 \cos \gamma+P_3 \cos (-\beta) বা, Rcos⁡θ=P1+P2cos⁡γ+P3cos⁡βR \cos \theta=P_1+P_2 \cos \gamma+P_3 \cos \beta ………(i)\ldots\ldots\ldots (i) এবং Rsin⁡θ′=P1sin⁡0∘+P2sin⁡γ+P3sin⁡(−β)\mathrm{R} \sin \theta^{\prime}=\mathrm{P}_1 \sin 0^{\circ}+\mathrm{P}_2 \sin \gamma+\mathrm{P}_3 \sin (-\beta). বা, Rsin⁡θ=P2sin⁡γ−P3sin⁡β\mathrm{R} \sin \theta=\mathrm{P}_2 \sin \gamma-\mathrm{P}_3 \sin \beta………(ii)\ldots\ldots\ldots (ii) (i)(i) নং ও (ii)(ii) নং কে বর্গ করে যোগ করি, R2cos⁡2θ+R2sin⁡2θ=P12+P22cos⁡2γ4P32cos⁡2β+2P1P2cos⁡γ+2P2P3cos⁡γcos⁡β+2P3P1cos⁡β+P22sin⁡2γ+P32sin⁡2β−2P2P3sin⁡βsin⁡γ\begin{aligned} & R^2 \cos^2 \theta+R^2 \sin^2 \theta=P_1{ }^2+P_2{ }^2 \cos^2 \gamma 4 P_3{ }^2 \cos^2 \beta \\ & +2 P_1 P_2 \cos \gamma+2 P_2 P_3 \cos \gamma \cos \beta+2 P_3 P_1 \cos \beta+ \\ & P_2{ }^2 \sin^2 \gamma+P_3{ }^2 \sin^2 \beta-2 P_2 P_3 \sin \beta \sin \gamma\end{aligned} বা, R2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=P12+P22(sin⁡2γ+cos⁡2γ)R^2\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)=P_1{ }^2+P_2{ }^2\left(\sin^2 \gamma+\cos^2 \gamma\right) +P32(sin⁡2β+cos⁡2β)+2P1P2cos⁡γ+2P3P1cos⁡β+2P2P3(cos⁡βcos⁡γ−sin⁡βsin⁡γ)\begin{array}{r}+P_3^2\left(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta\right)+2 P_1 P_2 \cos \gamma+2 P_3 P_1 \cos\beta+2 P_2 P_3(\cos \beta \cos \gamma-\sin \beta \sin \gamma)\end{array} বা, R2=P12+P22+P32+2P1P2cos⁡γ+2P3P1cos⁡β+2P2P3cos⁡(β+γ)R^2=P_1{ }^2+P_2{ }^2+P_3{ }^2+2 P_1 P_2 \cos \gamma+2 P_3 P_1 \cos \beta+2 P_2 P_3 \cos (\beta+\gamma) বা, R2=P12+P22+P32+2P1P2cos⁡γ+2P3P1cos⁡βR^2=P_1{ }^2+P_2{ }^2+P_3{ }^2+2 P_1 P_2 \cos \gamma+2 P_3 P_1 \cos \beta+2P2P3cos⁡(2π−α)[∵α+β+γ=2π]+2 P_2 P_3 \cos (2 \pi-\alpha)[\because \alpha+\beta+\gamma=2 \pi] বা, R2=P12+P22+P32+2P1P2cos⁡γ+2P1P3cos⁡β+2P2P3cos⁡α\mathrm{R}^2=\mathrm{P}_1{ }^2+\mathrm{P}_2{ }^2+\mathrm{P}_3{ }^2+2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \cos \gamma+2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3 \cos \beta+2 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \cos \alpha ∴R=[P12+P22+P32+2P2P3cos⁡α+2P3P1cos⁡β+2P1P2cos⁡γ]12\therefore \quad R=\left[P_1^2+P_2^2+P_3^2+2 P_2 P_3 \cos \alpha+2 P_3 P_1 \cos \beta+2P_1 P_2 \cos \gamma\right]^{\frac{1}{2}} ∴\therefore বলগুলোর লব্ধি [P12+P22+P32+2P2P3cos⁡α+2P3P1cos⁡β\left[\mathrm{P}_1{ }^2+\mathrm{P}_2{ }^2+\mathrm{P}_3{ }^2+2 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \cos \alpha+2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_1 \cos \beta\right. +2P1P2cos⁡γ]12\left.+2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \cos \gamma\right]^{\frac{1}{2}}. (দেখানো হলো)

উত্তর

মনে করি, একটি কণার উপর P1,P2,P3\mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 মানের তিনটি একতলীয় বল ক্রিয়ারত আছে। P2\mathrm{P}_2 ও P3,P3\mathrm{P}_3, \mathrm{P}_3 ও P1\mathrm{P}_1 এবং P1\mathrm{P}_1 ও P2\mathrm{P}_2 এর অন্তর্গত কোণ যথাক্রমে α,β,γ\alpha, \beta, \gamma । question image বলত্রয় সাম্যবস্থায় থাকলে, এদের লব্ধি শূন্য। P1P_{1} বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, P1sin⁡0∘+P2sin⁡γ+P3sin⁡(−β)=0P_1 \sin 0^{\circ}+P_2 \sin \gamma+P_3 \sin (-\beta)=0 বা, P2sin⁡γ−P3sin⁡β=0P_2 \sin \gamma-P_3 \sin \beta=0 বা, P2sin⁡γ=P3sin⁡β\mathrm{P}_2 \sin \gamma=\mathrm{P}_3 \sin \beta বা, P2sin⁡β=P3sin⁡γ\frac{P_2}{\sin \beta}=\frac{P_3}{\sin \gamma}……(i)\ldots\ldots(i) আবার, P2\mathrm{P}_2 বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই, P2sin⁡0∘+P3sin⁡α+P1sin⁡(−γ)=0P_2 \sin 0^{\circ}+P_3 \sin \alpha+P_1 \sin (-\gamma)=0 বা, P3sin⁡α−P1sin⁡γ=0\mathrm{P}_3 \sin \alpha-\mathrm{P}_1 \sin \gamma=0 বা, P1sin⁡γ=P3sin⁡αP_1 \sin \gamma=P_3 \sin \alpha বা, P1sin⁡α=P3sin⁡γ\frac{P_1}{\sin \alpha}=\frac{P_3}{\sin \gamma}……(ii)\ldots\ldots(ii) (i)(i) নং ও (ii)(ii) নং হতে পাই, P1sin⁡α=P2sin⁡β=P3sin⁡γ′\frac{P_1}{\sin \alpha}=\frac{P_2}{\sin \beta}=\frac{P_3}{\sin \gamma^{\prime}} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন