Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] মনেকরি, [গণিত] দৈর্ঘ্যর তক্তাটি C ও D বিন্দুতে দুটি খুটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থাপিত যেখানে CD = d এব ওজন P যা এর মধ্যবিন্দু O তে ক্রিয়া করে। [গণিত] তক্তাটি না উল্টিয়ে A প্রান্তে P ওজন ঝুলানো যায়। তখন D বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং A ও O তে কার্যরত ওজনের লব্ধি [গণিত] তে ক্রিয়া করে। [গণিত] আবার, B প্রান্তে R ওজন স্থাপন করলে C বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং O ও B তে কার্যরত ওজনের লব্ধি (P+R), D বিন্দুতে ক্রিয়া করে। [গণিত] (i) + (ii) [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : question image দৃশ্যকল্প-২ : 2l দীর্ঘ এবং P ওজন বিশিষ্ট একটি সুষম তক্তা d দূরত্বে অবস্থিত দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে অবস্থিত। একে না উল্টিয়ে এর দুই প্রান্তে পর্যায়ক্রমে Q এবং R ওজন ঝুলানো যায়।

Rajshahi · 2023

উত্তর

ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha ∴132=72+82+2×7×8cos⁡α\therefore 13^{2}=7^{2}+8^{2}+2 \times 7 \times 8 \cos \alpha ⇒169=49+64+112cos⁡α\Rightarrow 169=49+64+112 \cos \alpha ⇒112cos⁡α=169−113=56\Rightarrow 112 \cos \alpha=169-113=56 ⇒cos⁡α=56112=12\Rightarrow \cos \alpha=\frac{56}{112}=\frac{1}{2} ⇒α=cos⁡−112=60∘\Rightarrow \alpha=\cos^{-1} \frac{1}{2}=60^{\circ} ∴α=60∘\therefore \alpha=60^{\circ} ∴\therefore বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী 60∘60^{\circ}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, OA\mathrm{OA} বরাবর N বল, OB বরাবর L বল ও OC বরাবর M বল ক্রিয়া করে O বিন্দুতে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। ∠AOB=α,∠BOC=2α\angle A O B=\alpha, \angle B O C=2 \alpha ∴∠AOC=2π−(α+2α)=2π−3α\therefore \angle A O C=2 \pi-(\alpha+2 \alpha)=2 \pi-3 \alpha ∴\therefore লামির সূত্র হতে পাই, Nsin⁡2α=Lsin⁡(2π−3α)=Msin⁡α\frac{N}{\sin 2 \alpha}=\frac{L}{\sin (2 \pi-3 \alpha)}=\frac{M}{\sin \alpha} ⇒Nsin⁡2α=L−sin⁡3α=Msin⁡α\Rightarrow \frac{N}{\sin 2 \alpha}=\frac{L}{-\sin 3 \alpha}=\frac{M}{\sin \alpha} ১ম ও ৩য় অনুপাত নিয়ে পাই, Nsin⁡2α=Msin⁡α\frac{N}{\sin 2 \alpha}=\frac{M}{\sin \alpha} ⇒N2sin⁡αcos⁡α=Msin⁡α\Rightarrow \frac{N}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{M}{\sin \alpha} ⇒cos⁡α=N2M⋯(i)\Rightarrow \cos \alpha=\frac{N}{2 M} \cdots(\mathrm{i}) ২য় ও ৩য় অনুপাত নিয়ে পাই, L−sin⁡3α=Msin⁡α\frac{L}{-\sin 3 \alpha} =\frac{M}{\sin \alpha} ⇒LM=−3sin⁡α+4sin⁡3αsin⁡α\Rightarrow \frac{L}{M} =\frac{-3 \sin \alpha+4 \sin^{3} \alpha}{\sin \alpha} =−3+4sin⁡2α=-3+4 \sin^{2} \alpha =−3+4−4cos⁡2α=-3+4-4 \cos^{2} \alpha =1−4N24M2=1-4 \frac{N^{2}}{4 M^{2}} =1−N2M2=1-\frac{N^{2}}{M^{2}} ⇒LM=M2−N2M2\Rightarrow \frac{L}{M} =\frac{M^{2}-N^{2}}{M^{2}} ⇒L2=M2−N2\Rightarrow L^{2} =M^{2}-N^{2} ⇒N2=M2−L2\Rightarrow N^{2} =M^{2}-L^{2} ∴N2=M(M−L)\therefore N^{2} =M(M-L) (প্রমাণিত)

উত্তর

question image মনেকরি, AB=2IA B=2 I দৈর্ঘ্যর তক্তাটি C ও D বিন্দুতে দুটি খুটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থাপিত যেখানে CD = d এব ওজন P যা এর মধ্যবিন্দু O তে ক্রিয়া করে। ∴OA=OB=2l2=l\therefore O A=O B=\frac{2 l}{2}=l তক্তাটি না উল্টিয়ে A প্রান্তে P ওজন ঝুলানো যায়। তখন D বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং A ও O তে কার্যরত ওজনের লব্ধি (P+Q),C(\mathrm{P}+\mathrm{Q}), \mathrm{C} তে ক্রিয়া করে। ∴Q×AC=P×OC\therefore Q \times A C=P \times O C ⇒ACOC=PQ\Rightarrow \frac{A C}{O C}=\frac{P}{Q} ⇒AC+OCOC=P+QQ\Rightarrow \frac{A C+O C}{O C}=\frac{P+Q}{Q} ⇒OC=QP+QAO\Rightarrow O C=\frac{Q}{P+Q} A O ∴OC=QP+QI……(i)\therefore O C=\frac{Q}{P+Q} I \ldots \ldots (i) আবার, B প্রান্তে R ওজন স্থাপন করলে C বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং O ও B তে কার্যরত ওজনের লব্ধি (P+R), D বিন্দুতে ক্রিয়া করে। ∴P×OD=R×BD\therefore P \times O D=R \times B D ⇒BDOD=PR\Rightarrow \frac{B D}{O D}=\frac{P}{R} ⇒BD+ODOD=P+RR\Rightarrow \frac{B D+O D}{O D}=\frac{P+R}{R} ⇒OBOD=R+RR\Rightarrow \frac{O B}{O D}=\frac{R+R}{R} ∴OD=RP+ROB=RP+Rl…..(ii)\therefore O D=\frac{R}{P+R} O B=\frac{R}{P+R} l \ldots.. (ii) (i) + (ii) OC+OD=l(QP+Q+RP+R)O C+O D=l\left(\frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R}\right) ⇒QP+Q+RP+R=dl\Rightarrow \frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R}=\frac{d}{l} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন