Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের P,Q,R বলগুলো ক্রিয়া না করলে, শুধুমাত্র A,B, C বিন্দুতে ক্রিয়ারত U, V, W মানের সদৃশ, সমান্তরাল বলের লব্ধি পরিকেন্দ্র O গামী হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: মনেকরি, ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং বর্ধিত AO রেখা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q এবং R এর লব্ধি BC রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, তিনটি বলের লব্ধি O বিন্দুতে এবং U বলটি A বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, V এবং W এর লব্ধি BC এবং AOD রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু D তে ক্রিয়ারত হবে। [গণিত] (1) এখন, [গণিত] ত্রিভুজে [গণিত] এবং [গণিত] ত্রিভুজে [গণিত] কিন্তু [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (2) বা, [গণিত] [(1) নং হতে ] বা, [গণিত] বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ বলে [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, [গণিত] সুতরাং (3) ও (4) নং সমীকরণ হতে পাই, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

উদ্দীপকের P,Q,R বলগুলো ক্রিয়া না করলে, শুধুমাত্র A,B, C বিন্দুতে ক…

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2023

উত্তর

question image মনে করি, a ও b বলদ্বয় যথাক্রমে OA ও OB বরাবর 3α3\alpha কোণে ক্রিয়ারত এবং এদের লব্ধি R, OA রেখার সাথে α\alpha কোণ উৎপন্ন করে। ∴∠AOC=α\therefore \angle \mathrm{AOC}=\alpha হলে ∠BOC=2α=∠OCA\angle \mathrm{BOC}=2 \alpha=\angle \mathrm{OCA} এখন, AOC\mathrm{AOC} ত্রিভুজ হতে সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই, asin⁡2α=bsin⁡α=Rsin⁡(π−3α)\frac{\mathrm{a}}{\sin 2 \alpha}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{R}}{\sin (\pi-3 \alpha)} …...(i)\ldots... (i) ১ম ও ২য় অনুপাত হতে পাই, a2sin⁡αcos⁡α=bsin⁡α\frac{a}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{b}{\sin \alpha} বা, a2cos⁡α=b\frac{a}{2 \cos \alpha}=b বা, cos⁡α=a2b\cos \alpha=\frac{a}{2 b} ∴α=cos⁡−1(a2b)\therefore \quad \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{a}{2 b}\right) ∴\therefore বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ =3α=3cos⁡−1(a2 b)=3 \alpha=3 \cos^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}}{2 \mathrm{~b}}\right).

উত্তর

ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র I বিন্দুতে IA, IB, IC বরাবার ক্রিয়ারত যথাক্রমে P, Q, R বলসমূহ সাম্যাবস্থায় আছে। কাজেই লামির সূত্র অনুযায়ী, Psin⁡BIC=Qsin⁡AIC=Rsin⁡AIB\frac{P}{\sin \mathrm{BIC}}=\frac{Q}{\sin \mathrm{AIC}}=\frac{R}{\sin \mathrm{AIB}}. ... (i) এখানে, ∠ABI=∠CBI=B2\angle \mathrm{ABI}=\angle \mathrm{CBI}=\frac{B}{2} [যেহেতু, I অন্তঃকেন্দ্র] ∠BCI=∠ACI=C2\angle \mathrm{BCI}=\angle \mathrm{ACI}=\frac{\mathrm{C}}{2} ∠CAI=∠BAI=A2\angle \mathrm{CAI}=\angle \mathrm{BAI}=\frac{\mathrm{A}}{2} ∴∠BIC=π−B2−C2=π−12( B+C)\therefore \angle \mathrm{BIC}=\pi-\frac{\mathrm{B}}{2}-\frac{\mathrm{C}}{2}=\pi-\frac{1}{2}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}) question image =π−12(π−A)=π2+A2=\pi-\frac{1}{2}(\pi-A)=\frac{\pi}{2}+\frac{A}{2} অনুরূপভাবে, ∠AIB=π2+C2\angle \mathrm{AIB}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2} এবং ∠AIC=π2+B2\angle \mathrm{AIC}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{B}}{2} ∴\therefore (i) নং হতে Psin⁡(π2+A2)=Qsin⁡(π2+B2)=Rsin⁡(π2+C2)\frac{P}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{A}{2}\right)}=\frac{Q}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\frac{R}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{C}{2}\right)} বা, Pcos⁡A2=Qcos⁡B2=Rcos⁡C2\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}} বা, P:Q:R=cos⁡A2:cos⁡B2:cos⁡C2P: Q: R=\cos \frac{A}{2}: \cos \frac{B}{2}: \cos \frac{C}{2}, ∴P:Q:R=sin⁡(π2−A2):sin⁡(π2−B2):sin⁡(π2−C2)\therefore P: Q: R=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{A}{2}\right): \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{B}{2}\right): \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right). [∵sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ]\left[\because \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\right] (দেখানো হলো)

উত্তর

মনেকরি, ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং বর্ধিত AO রেখা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q এবং R এর লব্ধি BC রেখাস্থ কোনো বিন্দুতে ক্রিয়া করবে। আবার, তিনটি বলের লব্ধি O বিন্দুতে এবং U বলটি A বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, V এবং W এর লব্ধি BC এবং AOD রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু D তে ক্রিয়ারত হবে। ∴VW=CDBD\therefore \quad \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{W}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}} ……(1)\ldots\ldots (1) এখন, BOD\mathrm{BOD} ত্রিভুজে BDsin⁡BOD=BOsin⁡BDO\frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{BOD}}=\frac{\mathrm{BO}}{\sin \mathrm{BDO}} এবং COD\mathrm{COD} ত্রিভুজে CDsin⁡COD=COsin⁡CDO\frac{\mathrm{CD}}{\sin \mathrm{COD}}=\frac{\mathrm{CO}}{\sin \mathrm{CDO}} কিন্তু BO=CO\mathrm{BO}=\mathrm{CO} এবং sin⁡BDO=sin⁡CDO[∵BDO=π−CDO]\sin \mathrm{BDO}=\sin \mathrm{CDO}[\because \mathrm{BDO}=\pi-\mathrm{CDO}] ∴BDsin⁡BOD=CDsin⁡COD\therefore \quad \frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{BOD}}=\frac{\mathrm{CD}}{\sin \mathrm{COD}} বা, sin⁡CODsin⁡BOD=CDBD\frac{\sin C O D}{\sin B O D}=\frac{C D}{B D} বা, CDBD=sin⁡CODsin⁡BOD\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\sin \mathrm{COD}}{\sin \mathrm{BOD}} …….(2)\ldots\ldots. (2) বা, VW=sin⁡CODsin⁡BOD\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{W}}=\frac{\sin \mathrm{COD}}{\sin \mathrm{BOD}} [(1) নং হতে ] বা, VW=sin⁡(180∘−COA)sin⁡(180∘−AOB)=sin⁡COAsin⁡AOB\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{W}}=\frac{\sin \left(180^{\circ}-\mathrm{COA}\right)}{\sin \left(180^{\circ}-\mathrm{AOB}\right)}=\frac{\sin \mathrm{COA}}{\sin \mathrm{AOB}} বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ বলে ∠COA=2 B\angle \mathrm{COA}=2 \mathrm{~B} এবং ∠AOB=2C\angle \mathrm{AOB}=2 \mathrm{C} ∴VW=sin⁡2Bsin⁡2C=2sin⁡B⋅cos⁡B2sin⁡C⋅cos⁡C\therefore \frac{V}{W}=\frac{\sin 2 B}{\sin 2 C}=\frac{2 \sin B \cdot \cos B}{2 \sin C \cdot \cos C} বা, VW=bcos⁡Bccos⁡C……(3)[∵asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C]\frac{V}{W}=\frac{b \cos B}{c \cos C} \ldots \ldots (3)\left[\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\right] অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে, UV=acos⁡Abcos⁡B……..(4)\frac{U}{V}=\frac{a \cos A}{b \cos B} \ldots\ldots.. (4) সুতরাং (3) ও (4) নং সমীকরণ হতে পাই, U:V:W=acos⁡A:bcos⁡B:cos⁡C\mathrm{U}: \mathrm{V}: \mathrm{W}=\operatorname{acos} \mathrm{A}: \mathrm{b} \cos \mathrm{B}: \cos \mathrm{C}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন