Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, বলত্রয়ের লব্ধি পরিমাণ [গণিত]

উত্তর: মনে করি, [গণিত] ও [গণিত] বাহুর সমান্তরাল যথাক্রমে [গণিত] ও [গণিত] বরাবর সমান মানের [গণিত] বল ক্রিয়ারত আছে এবং তাদের লব্ধি R বল OX এর সাথে [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে। [চিত্র] OX বরাবর এবং এর উপর লম্ব রেখা বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] লব্ধি, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, বলত্রয়ের লব্ধি পরিমাণ

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১ : কোনো কণার উপর একই সময়ে ক্রিয়াশীল P এবং Q ( P > Q) দুটি বলের লব্ধি P বলের সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করে । P বলকে দ্বিগুণ করলে উক্ত কোণটি পূর্বের কোণের অর্ধেক হয়। উদ্দীপক-২ : M মানের তিনটি বল একটি বিন্দুতে এরূপভাবে কার্যরত যেন এদের দিক ত্রিভুজ ABC এর BC, CA এবং AB বাহুর সমান্তরাল।

Jessore · 2022

উত্তর

ধরি, বলদ্বয়, P=12 N,Q=5 NP=12 \mathrm{~N}, \mathrm{Q}=5 \mathrm{~N} বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ, α=45∘\alpha=45^{\circ} এবং লব্ধি = R ∴R=P2+Q2+2PQcos⁡α=(12)2+(5)2+2⋅12⋅5cos⁡45∘\therefore \mathrm{R}=\sqrt{\mathrm{P}^{2}+\mathrm{Q}^{2}+2 \mathrm{PQ} \cos \alpha}=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}+2 \cdot 12 \cdot 5 \cos 45^{\circ}} =144+25+120⋅12=253.85=15.93 N=\sqrt{144+25+120 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{253.85}=15.93 \mathrm{~N} ∴\therefore বল দুইটির লব্ধি 15.93 N

উত্তর

ধরি, P ও Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্ত্তী কোণ α\alpha এবং এদের লব্ধি R. P বলের সাথে 60∘60^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, tan⁡60∘=Qsin⁡αP+Qcos⁡α\tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, 3=Qsin⁡αP+Qcos⁡α……(1)\sqrt{3}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \ldots\ldots (1) question image আবার, P বলকে দ্বিগুণ করলে অর্থাৎ 2P হলে লব্ধি 2P বলের সাথে 30∘30^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে। সুতরাং, tan⁡30∘=Qsin⁡α2P+Qcos⁡α\tan 30^{\circ}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, 13=Qsin⁡α2P+Qcos⁡α……….(2)\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \ldots\ldots\ldots. (2) (1) নং কে (2) নং দ্বারা ভাগ করে পাই, 313=Qsin⁡αP+Qcos⁡α÷Qsin⁡α2P+Qcos⁡α\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \div \frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} =Qsin⁡αP+Qcos⁡α×2P+Qcos⁡αQsin⁡α=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{\mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha} \times \frac{2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha}{\mathrm{Q} \sin \alpha} বা, 3=2P+Qcos⁡αP+Qcos⁡α3=\frac{2 P+Q \cos \alpha}{P+Q \cos \alpha} বা, 3P+3Qcos⁡α=2P+Qcos⁡α………(3)3 \mathrm{P}+3 \mathrm{Q} \cos \alpha=2 \mathrm{P}+\mathrm{Q} \cos \alpha \ldots\ldots\ldots (3) বা, P=−2Qcos⁡αP=-2 Q \cos \alpha (1) নং সমীকরণে P=−2Qcos⁡αP=-2 Q \cos \alpha বসিয়ে পাই, 3=Qsin⁡α−2Qcos⁡α+Qcos⁡α\sqrt{3}=\frac{\mathrm{Q} \sin \alpha}{-2 \mathrm{Q} \cos \alpha+\mathrm{Q} \cos \alpha} বা, 3=Qsin⁡α−Qcos⁡α\sqrt{3}=\frac{Q \sin \alpha}{-Q \cos \alpha} বা, tan⁡α=−3\tan \alpha=-\sqrt{3} বা, tan⁡α=−tan⁡60∘\tan \alpha=-\tan 60^{\circ} বা, tan⁡α=tan⁡(180∘−60∘)=tan⁡120∘\tan \alpha=\tan \left(180^{\circ}-60^{\circ}\right)=\tan 120^{\circ} ∴α=120∘\therefore \alpha=120^{\circ} ∴\therefore \quad P Q Q বলের মধ্যবর্তী কোকের পরিমাণ 120∘120^{\circ}.

উত্তর

মনে করি, BC,CA\mathrm{BC}, \mathrm{CA} ও AB\mathrm{AB} বাহুর সমান্তরাল যথাক্রমে OX,OY\mathrm{OX}, \mathrm{OY} ও OZ\mathrm{OZ} বরাবর সমান মানের M\mathrm{M} বল ক্রিয়ারত আছে এবং তাদের লব্ধি R বল OX এর সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে। question image OX বরাবর এবং এর উপর লম্ব রেখা বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই, Rcos⁡θ=Mcos⁡0∘+Mcos⁡(π−C)+Mcos⁡(π+B)\mathrm{R} \cos \theta=\mathrm{M} \cos 0^{\circ}+\mathrm{M} \cos (\pi-\mathrm{C})+\mathrm{M} \cos (\pi+\mathrm{B}) বা, Rcos⁡θ=M(1−cos⁡C−cos⁡B)……….(1)R \cos \theta=M(1-\cos C-\cos B) \ldots\ldots\ldots. (1) এবং Rsin⁡θ=Msin⁡0∘+Msin⁡(π−C)+Msin⁡(π+B)R \sin \theta=M \sin 0^{\circ}+M \sin (\pi-C)+M \sin (\pi+B) বা, Rsin⁡θ=M(sin⁡C−sin⁡B)……..(2)R \sin \theta=M(\sin C-\sin B) \ldots\ldots.. (2) (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই, R2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=M2[(1−cos⁡C−cos⁡B)2+(sin⁡C−sin⁡B)2]\begin{aligned}R^{2}\left(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\right)= & M^{2} \\ & {\left[(1-\cos C-\cos B)^{2}+(\sin C-\sin B)^{2}\right] }\end{aligned} বা, R2=M2[1+cos⁡2C+cos⁡2B−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡Bcos⁡C+sin⁡2C+sin⁡2B−2sin⁡Bsin⁡C]R^{2}=M^{2}\left[1+\cos^{2} C+\cos^{2} B-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos B \cos C+\sin^{2} C+\sin^{2} B-2 \sin B \sin C\right] বা, R2=M2[1+cos⁡2C+sin⁡2C+cos⁡2B+sin⁡2B−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡Bcos⁡C−2sin⁡Bsin⁡C]R^{2}=M^{2}\left[1+\cos^{2} C+\sin^{2} C+\cos^{2} B+\sin^{2} B-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos B \cos C-2 \sin B \sin C\right] বা, R2=M2[1+1+1−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡(B+C)]R^{2}=M^{2}[1+1+1-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos (B+C)] বা, R2=M2[3−2cos⁡C−2cos⁡B+2cos⁡(π−A)]R^{2}=M^{2}[3-2 \cos C-2 \cos B+2 \cos (\pi-A)] বা, R=M3−2cos⁡C−2cos⁡B−2cos⁡AR=M \sqrt{3-2 \cos C-2 \cos B-2 \cos A} ∴\therefore লব্ধি, R=M3−2cos⁡A−2cos⁡B−2cos⁡C\mathrm{R}=\mathrm{M} \sqrt{3-2 \cos \mathrm{A}-2 \cos \mathrm{B}-2 \cos \mathrm{C}}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন