Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O । [গণিত] বলত্রয় যথাক্রমে [গণিত] এবং OC বরাবর ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ করো যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] এখানে, ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O হতে OA,OB,OC বরাবর P,Q,R বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা তৈরি করেছে। সাম্যাবস্থায় লামির সৃত্র হতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] [ [গণিত] বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] সূত্র হতে] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O । বলত্রয় যথাক্রমে এবং OC বরাবর ক্রিয়…

উদ্দীপক

কোনো বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P, Q এবং R বলত্রয় সাম্যবস্থায় আছে।

উত্তর

∴\therefore লব্ধি, R=33 N\mathrm{R}=3 \sqrt{3} \mathrm{~N} ∴R2=F2+F2+2⋅F⋅F⋅cos⁡α\therefore \mathrm{R}^{2}=\mathrm{F}^{2}+\mathrm{F}^{2}+2 \cdot \mathrm{F} \cdot \mathrm{F} \cdot \cos \alpha বা, (33)2=2 F2+2 F2⋅cos⁡60∘(3 \sqrt{3})^{2}=2 \mathrm{~F}^{2}+2 \mathrm{~F}^{2} \cdot \cos 60^{\circ} বা, 27=2 F2+2 F2⋅1227=2 \mathrm{~F}^{2}+2 \mathrm{~F}^{2} \cdot \frac{1}{2} বা, 27=2 F2+F227=2 \mathrm{~F}^{2}+\mathrm{F}^{2} বা, 3 F2=273 \mathrm{~F}^{2}=27 বা, F2=9\mathrm{F}^{2}=9 ∴F=3 N\therefore \mathrm{F}=3 \mathrm{~N} নির্ণেয় মান : =3 N=3 \mathrm{~N}.

উত্তর

ধরি, O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P, Q ও R বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। Q এবং R এর মধ্যবর্তী কোণ =2α=2 \alpha ∴R\therefore \quad \mathrm{R} এবং P এর মধ্যবর্তী কোণ =α=\alpha PP এবং QQ এর মধ্যবর্তী কোণ =2π−2α−α=2π−3α=2 \pi-2 \alpha-\alpha=2 \pi-3 \alpha question image ∴\therefore লামির উপপাদ্য অনুসারে, Psin⁡2α=Qsin⁡α=Rsin⁡(2π−3α)\frac{\mathrm{P}}{\sin 2 \alpha}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{R}}{\sin (2 \pi-3 \alpha)} বা, P2sin⁡αcos⁡α=Qsin⁡α=R−sin⁡3α\frac{\mathrm{P}}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{R}}{-\sin 3 \alpha} বা, P2sin⁡αcos⁡α=Qsin⁡α=R−(3sin⁡α−4sin⁡3α)\frac{\mathrm{P}}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{R}}{-\left(3 \sin \alpha-4 \sin^3 \alpha\right)} বা, P2sin⁡αcos⁡α=Qsin⁡α=Rsin⁡α(4sin⁡2α−3)\frac{\mathrm{P}}{2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{R}}{\sin \alpha\left(4 \sin^2 \alpha-3\right)} বা, P2cos⁡α=Q=R4sin⁡2α−3[∵sin⁡α≠0]\frac{\mathrm{P}}{2 \cos \alpha}=\mathrm{Q}=\frac{\mathrm{R}}{4 \sin^2 \alpha-3}[\because \sin \alpha \neq 0] ১ম ও ২য় অনুপাত হতে পাই, P2cos⁡α=Q\frac{\mathrm{P}}{2 \cos \alpha}=\mathrm{Q} বা, cos⁡α=P2Q\cos \alpha=\frac{P}{2 Q} ২য় ও ৩য় অনুপাত হতে পাই, Q=R4sin⁡2α−3\mathrm{Q}=\frac{\mathrm{R}}{4 \sin^2 \alpha-3} বা, R=Q(4sin⁡2α−3)R=Q\left(4 \sin^2 \alpha-3\right) বা, R=Q{4(1−cos⁡2α)−3)R=Q\left\{4\left(1-\cos^2 \alpha\right)-3\right) বা, R=Q(4−4cos⁡2α−3)R=Q\left(4-4 \cos^2 \alpha-3\right) বা, R=Q(1−4cos⁡2α)R=Q\left(1-4 \cos^2 \alpha\right) বা, R=Q{1−4(P2Q)2}\mathrm{R}=\mathrm{Q}\left\{1-4\left(\frac{\mathrm{P}}{2 \mathrm{Q}}\right)^2\right\} বা, R=Q(1−4×P24Q2)R=Q\left(1-4 \times \frac{P^2}{4 Q^2}\right) বা, R=Q(1−P2Q2)\mathrm{R}=\mathrm{Q}\left(1-\frac{\mathrm{P}^2}{\mathrm{Q}^2}\right) বা, R=Q(Q2−P2Q2)\mathrm{R}=\mathrm{Q}\left(\frac{\mathrm{Q}^2-\mathrm{P}^2}{\mathrm{Q}^2}\right) বা, R=Q2−P2Q\mathrm{R}=\frac{\mathrm{Q}^2-\mathrm{P}^2}{\mathrm{Q}} বা, QR=Q2−P2Q R=Q^2-P^2 বা, P2=Q2−QRP^2=Q^2-Q R ∴P2=Q(Q−R)\therefore \quad \mathrm{P}^2=\mathrm{Q}(\mathrm{Q}-\mathrm{R}). (দেখানো হলো)

উত্তর

question image এখানে, ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O হতে OA,OB,OC বরাবর P,Q,R বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা তৈরি করেছে। সাম্যাবস্থায় লামির সৃত্র হতে পাই, Psin⁡∠BOC=Qsin⁡∠AOC=Rsin⁡∠AOB\frac{P}{\sin \angle B O C}=\frac{Q}{\sin \angle A O C}=\frac{R}{\sin \angle A O B} বা, Psin⁡2∠BAC=Qsin⁡2∠ABC=Rsin⁡2∠ACB\frac{P}{\sin 2 \angle B A C}=\frac{Q}{\sin 2 \angle A B C}=\frac{R}{\sin 2 \angle A C B} [∴\therefore বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] বা, Psin⁡2A=Qsin⁡2B=Rsin⁡2C\frac{P}{\sin 2 A}=\frac{Q}{\sin 2 B}=\frac{R}{\sin 2 C} বা, P2sin⁡Acos⁡A=Q2sin⁡Bcos⁡C=R2sin⁡Ccos⁡C\frac{P}{2 \sin A \cos A}=\frac{Q}{2 \sin B \cos C}=\frac{R}{2 \sin C \cos C} বা, Pa2Rb2+c2−a22bc=Qb2Rc2+a2−b22ca=Rc2Ra2+b2−c22ab\frac{P}{\frac{a}{2 R} \frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}}=\frac{Q}{\frac{b}{2 R} \frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}}=\frac{R}{\frac{c}{2 R} \frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}} [asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\left[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R\right. এবং cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} সূত্র হতে] বা, Pa2(b2+c2−a2)abc=Qb2(c2+a2−b2)abc=Rc2(a2+b2−c2)abc\frac{P}{\frac{a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)}{a b c}}=\frac{Q}{\frac{b^2\left(c^2+a^2-b^2\right)}{a b c}}=\frac{R}{\frac{c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)}{a b c}} ∴Pa2( b2+c2−a2)=Qb2(a2+c2−b2)=Rc2(a2+b2−c2)\therefore \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{a}^2\left(\mathrm{~b}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2\right)}=\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{b}^2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{b}^2\right)}=\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{c}^2\left(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2\right)} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন