Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: [চিত্র] ১ম চিত্রে, [গণিত] কোণে হেলানো তল [গণিত] এর ওপর [গণিত] বিন্দুতে [গণিত] ওজনের বস্কুকে ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত [গণিত] বল স্থির অবস্থায় রাখে। হেলানো তলটির ওপর বস্কুটির চাপ [গণিত] হলে বল [গণিত] , [গণিত] , [গণিত] ভারসাম্য সৃষ্টি করবে। [গণিত] চাপ AB এর সাথে লম্বিক দিকে হবে। লামির সুত্রানুযায়ী [গণিত] বা, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] নং হতে [গণিত] নং বিয়োগ করে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত) [বি. দ্র: P এর পরিবর্তে R এবং এর পরিবর্তে ১ হবে।]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ করো যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : P +Q এবং P - Q বলদ্ধয় ϕ\phi কোণে ক্রিয়ারত । দৃশ্যকল্প-২ : R ও S বলম্বয় যথাক্রমে একটি নত সমতলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির-সমান্তরালে থেকে প্রত্যেকেই এককভাবে মসৃণ তলের উপরস্থ W ওজনের বস্তু ধরে রাখতে পারে।

উত্তর

মনে করি, বল দুইটির মধ্যকার কোণ α।\alpha । বলের সামান্তরিক সূত্রানুসারে, R2=(3P)2+(2P)2+2⋅3P⋅2P⋅cos⁡αR^2 =(3 P)^2+(2 P)^2+2 \cdot 3 P \cdot 2 P \cdot \cos \alpha =9P2+4P2+12P2⋅cos⁡α=9 P^2+4 P^2+12 P^2 \cdot \cos \alpha =13P2+12P2cos⁡α=13 P^2+12 P^2 \cos \alpha……………(1)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(1) প্রশ্নের দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 6P এবং 2P বলের লব্ধি 2R ∴(2R)2=(6P)2+(2P)2+2.6P.2P.cos⁡α\therefore(2 \mathrm{R})^2=(6 \mathrm{P})^2+(2 \mathrm{P})^2+2.6 \mathrm{P} .2 \mathrm{P} . \cos \alpha বা, 4R2=40P2+24P2cos⁡α4 \mathrm{R}^2=40 \mathrm{P}^2+24 \mathrm{P}^2 \cos \alpha বা, R2=10P2+6P2⋅cos⁡α\mathrm{R}^2=10 \mathrm{P}^2+6 \mathrm{P}^2 \cdot \cos \alpha
……………(2)(1)\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots(2) (1)
নং হতে (2) নং বিয়োগ করে পাই, বা, R2−R2=13P2+12P2cos⁡α−10P2−6P2cos⁡α\mathrm{R}^2-\mathrm{R}^2=13 \mathrm{P}^2+12 \mathrm{P}^2 \cos \alpha-10 \mathrm{P}^2-6 \mathrm{P}^2 \cos \alpha বা, 0=3P2+6P2cos⁡α0=3 \mathrm{P}^2+6 \mathrm{P}^2 \cos \alpha বা, 6P2cos⁡α=−3P26 \mathrm{P}^2 \cos \alpha=-3 \mathrm{P}^2 বা, cos⁡α=−3P26P2=−12=cos⁡120∘\cos \alpha=-\frac{3 \mathrm{P}^2}{6 \mathrm{P}^2}=-\frac{1}{2}=\cos 120^{\circ} ∴α=120∘\therefore \quad \alpha=120^{\circ}.

উত্তর

question image মনে করি, P + Q এবং P-Q. মানের বল দুইটি যথাক্রমে BEFC সমদ্বিখন্ডকের BE এবং BC বাহুদ্বয় দ্বারা সূচিত করা হলো। তাহলে এদের লব্ধি, R কর্ণ BF বরাবর ক্রিয়াশীল। ধরি, ∠EBC\angle \mathrm{EBC} এর সমদ্বিখণ্ডক রেখা BG এর সাথে BF রেখা θ2\frac{\theta}{2} কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ ∠FBG=θ2\angle \mathrm{FBG}=\frac{\theta}{2} এবং ∠EBG=∠CBG=φ2\angle \mathrm{EBG}=\angle \mathrm{CBG}=\frac{\varphi}{2} তাহলে ∠EBF=φ2−θ2\angle \mathrm{EBF}=\frac{\varphi}{2}-\frac{\theta}{2} এবং ∠CBF=φ2+θ2\angle \mathrm{CBF}=\frac{\varphi}{2}+\frac{\theta}{2} এখন বলের সাইন সূত্র হতে পাই, P+Qsin⁡CBF=P−Qsin⁡EBF=Rsin⁡EBC\frac{P+Q}{\sin C B F}=\frac{P-Q}{\sin E B F}=\frac{R}{\sin E B C} ১ম ও ২য় অনুপাত হতে, P+Qsin⁡CBF=P−Qsin⁡EBF\frac{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}{\sin \mathrm{CBF}}=\frac{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}{\sin \mathrm{EBF}} বা, P+QP−Q=sin⁡CBFsin⁡EBF=sin⁡(φ2+θ2)sin⁡(φ2−θ2)\frac{P+Q}{P-Q}=\frac{\sin C B F}{\sin E B F}=\frac{\sin \left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\varphi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)} বা, P+Q+P−QP+Q−P+Q=sin⁡(φ2+θ2)+sin⁡(φ2−θ2)sin⁡(φ2+θ2)−sin⁡(φ2−θ2)\frac{P+Q+P-Q}{P+Q-P+Q}=\frac{\sin \left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)+\sin \left(\frac{\varphi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\varphi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)-\sin \left(\frac{\varphi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)} বা, 2P2Q=2sin⁡φ2cos⁡θ22cos⁡φ2sin⁡θ2\frac{2 \mathrm{P}}{2 \mathrm{Q}}=\frac{2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{\varphi}{2} \sin \frac{\theta}{2}} বা, PQ=tan⁡φ2cot⁡θ2=tan⁡φ2×1tan⁡θ2\frac{P}{Q}=\tan \frac{\varphi}{2} \cot \frac{\theta}{2}=\tan \frac{\varphi}{2} \times \frac{1}{\tan \frac{\theta}{2}} বা, PQ=tan⁡φ2tan⁡θ2\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}=\frac{\tan \frac{\varphi}{2}}{\tan \frac{\theta}{2}}. ∴P:Q=tan⁡φ2:tan⁡θ2\therefore \quad P: Q=\tan \frac{\varphi}{2}: \tan \frac{\theta}{2}. (প্রমাণিত)

উত্তর

question image ১ম চিত্রে, α\alpha কোণে হেলানো তল ABAB এর ওপর CC বিন্দুতে WW ওজনের বস্কুকে ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত QQ বল স্থির অবস্থায় রাখে। হেলানো তলটির ওপর বস্কুটির চাপ R1\mathrm{R}_1 হলে বল R1\mathrm{R}_1, Q\mathrm{Q}, WW ভারসাম্য সৃষ্টি করবে। R1\mathrm{R}_1 চাপ AB এর সাথে লম্বিক দিকে হবে। লামির সুত্রানুযায়ী R1sin⁡90∘=Qsin⁡(180∘−α)=Wsin⁡(90∘+α)\frac{\mathrm{R}_1}{\sin 90^{\circ}}=\frac{Q}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{W}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)} বা, R11=Qsin⁡α=Wcos⁡α\frac{\mathrm{R}_1}{1}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{W}}{\cos \alpha} এখন, Qsin⁡α=Wcos⁡α\frac{Q}{\sin \alpha}=\frac{W}{\cos \alpha} বা, WQ=cos⁡αsin⁡α\frac{W}{Q}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} বা, WQ=cot⁡α\frac{W}{Q}=\cot \alpha বা, W2Q2=cot⁡2α\frac{W^2}{Q^2}=\cot^2 \alpha…..(i)\ldots..(i) question image ২য় চিত্রে, হেলানো তলটির দৈর্ঘ্যের দিকে PP বল ক্রিয়াশীল হওয়ায় WW ওজনের বস্কুটি হেলানো তলটির ওপর স্থির অবস্থায় থাকে। বস্তুর চাপ R2\mathrm{R}_2 হলে R2,P,W\mathrm{R}_2, \mathrm{P}, \mathrm{W} বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করবে এবং R2\mathrm{R}_2 চাপ হেলানো তলের সাথে লম্বিক দিকে ক্রিয়াশীল থাকবে। লামির সূত্রানুযায়ী, R2sin⁡(90∘+α)=Psin⁡(180∘−α)=Wsin⁡90∘\frac{\mathrm{R}_2}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)}=\frac{\mathrm{P}}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{\mathrm{W}}{\sin 90^{\circ}} বা, R2cos⁡α=Psin⁡α=W1\frac{\mathrm{R}_2}{\cos \alpha}=\frac{\mathrm{P}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{W}}{1} এখন, Psin⁡α=W\frac{\mathrm{P}}{\sin \alpha}=\mathrm{W} বা, WP=1sin⁡α\frac{W}{P}=\frac{1}{\sin \alpha} বা, WP=cosec⁡⁡α\frac{W}{P}=\operatorname{\cosec} \alpha বা, W2P2=cosec⁡⁡2α\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{P}^2}=\operatorname{\cosec}^2 \alpha….(ii)\ldots.(ii) (ii)(ii) নং হতে (i)(i) নং বিয়োগ করে পাই, W2P2−W2Q2=cosec⁡⁡2α−cot⁡2α\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{P}^2}-\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{Q}^2}=\operatorname{\cosec}^2 \alpha-\cot^2 \alpha বা, W2(1P2−1Q2)=1W^2\left(\frac{1}{\mathrm{P}^2}-\frac{1}{\mathrm{Q}^2}\right)=1 বা, W2(Q2−P2P2Q2)=1W^2\left(\frac{Q^2-P^2}{P^2 Q^2}\right)=1 বা, W2=P2Q2Q2−P2W^2=\frac{P^2 Q^2}{Q^2-P^2} ∴W=PQQ2−P2\therefore \quad W=\frac{P Q}{\sqrt{Q^2-P^2}} (প্রমাণিত) [বি. দ্র: P এর পরিবর্তে R এবং এর পরিবর্তে ১ হবে।]
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন