Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ এর বলত্রয়ের লব্ধি পরিকেন্দ্র [গণিত] বিন্দুতে ক্রিয়া করলে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .

উত্তর: বলত্রয়ের লব্ধি পরিকেন্দ্র O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। [চিত্র] Q এবং [গণিত] এর লব্ধি [গণিত] বিন্দুতে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] চাপে, [গণিত] চাপে, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপে, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 8: স্থিতিবিদ্যা · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ এর বলত্রয়ের লব্ধি পরিকেন্দ্র বিন্দুতে ক্রিয়া করলে প্…

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: একটি হেলানো মসৃণ সমতলের ভূমি ও দৈর্ঘ্যের সমান্তরালে ক্রিয়াশীল যথাক্রমে P এবং Q মানের দুইটি পৃথক বল প্রত্যেকে W ওজনের কোনো বস্তুকে তলের উপর স্থির রাখতে পারে। দৃশ্যকল্প-২: question image

উত্তর

বর্ণনা: কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বলের মান ও দিক যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু দ্বারা একই ক্রমে সূচিত করা যায় তবে বলগুলো ভারসাম্যবস্থায় থাকবে। প্রমাণ: মনে করি, O বিন্দুতে ক্রিয়ারত P, Q ও R এর মান ও দিক যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহু দ্বারা সূচিত। প্রমাণ করতে হবে যে, বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকবে অর্থাৎ এদের লব্ধি শূন্য হবে। question image BC→=\overrightarrow{B C}=P⃗\vec{P},,CA→\overrightarrow{C A}==Q⃗\vec{Q},,AB→\overrightarrow{A B}=R⃗=\vec{R} △ABC\triangle \mathrm{ABC}-এ ভেক্টরের যোগ বিধি অনুসারে, BC→+CA→=BA→\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}} বা, BC→+CA→−BA→=0\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}=0 বা, BC→+CA→+AB→=0\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 বা, P⃗+\vec{P}+Q⃗\vec{Q}++R⃗\vec{R}=0=0 অর্থাৎ বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করে। (প্রমাণিত)

উত্তর

[বি. দ্র: P ও Q পরস্পর পরিবর্তন হবে] question image ১ম চিত্রে, α\alpha কোণে হেলানো তল ABAB এর ওপর CC বিন্দুতে WW ওজনের বস্কুকে ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত QQ বল স্থির অবস্থায় রাখে। হেলানো তলটির ওপর বস্কুটির চাপ R1\mathrm{R}_1 হলে বল R1\mathrm{R}_1, Q\mathrm{Q}, WW ভারসাম্য সৃষ্টি করবে। R1\mathrm{R}_1 চাপ AB এর সাথে লম্বিক দিকে হবে। লামির সুত্রানুযায়ী R1sin⁡90∘=Qsin⁡(180∘−α)=Wsin⁡(90∘+α)\frac{\mathrm{R}_1}{\sin 90^{\circ}}=\frac{Q}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{W}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)} বা, R11=Qsin⁡α=Wcos⁡α\frac{\mathrm{R}_1}{1}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{W}}{\cos \alpha} এখন, Qsin⁡α=Wcos⁡α\frac{Q}{\sin \alpha}=\frac{W}{\cos \alpha} বা, WQ=cos⁡αsin⁡α\frac{W}{Q}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} বা, WQ=cot⁡α\frac{W}{Q}=\cot \alpha বা, W2Q2=cot⁡2α\frac{W^2}{Q^2}=\cot^2 \alpha…..(i)\ldots..(i) question image ২য় চিত্রে, হেলানো তলটির দৈর্ঘ্যের দিকে PP বল ক্রিয়াশীল হওয়ায় WW ওজনের বস্কুটি হেলানো তলটির ওপর স্থির অবস্থায় থাকে। বস্তুর চাপ R2\mathrm{R}_2 হলে R2,P,W\mathrm{R}_2, \mathrm{P}, \mathrm{W} বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করবে এবং R2\mathrm{R}_2 চাপ হেলানো তলের সাথে লম্বিক দিকে ক্রিয়াশীল থাকবে। লামির সূত্রানুযায়ী, R2sin⁡(90∘+α)=Psin⁡(180∘−α)=Wsin⁡90∘\frac{\mathrm{R}_2}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)}=\frac{\mathrm{P}}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{\mathrm{W}}{\sin 90^{\circ}} বা, R2cos⁡α=Psin⁡α=W1\frac{\mathrm{R}_2}{\cos \alpha}=\frac{\mathrm{P}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{W}}{1} এখন, Psin⁡α=W\frac{\mathrm{P}}{\sin \alpha}=\mathrm{W} বা, WP=1sin⁡α\frac{W}{P}=\frac{1}{\sin \alpha} বা, WP=cosec⁡⁡α\frac{W}{P}=\operatorname{\cosec} \alpha বা, W2P2=cosec⁡⁡2α\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{P}^2}=\operatorname{\cosec}^2 \alpha….(ii)\ldots.(ii) (ii)(ii) নং হতে (i)(i) নং বিয়োগ করে পাই, W2P2−W2Q2=cosec⁡⁡2α−cot⁡2α\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{P}^2}-\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{Q}^2}=\operatorname{\cosec}^2 \alpha-\cot^2 \alpha বা, W2(1P2−1Q2)=1W^2\left(\frac{1}{\mathrm{P}^2}-\frac{1}{\mathrm{Q}^2}\right)=1 বা, W2(Q2−P2P2Q2)=1W^2\left(\frac{Q^2-P^2}{P^2 Q^2}\right)=1 বা, W2=P2Q2Q2−P2W^2=\frac{P^2 Q^2}{Q^2-P^2} ∴W=PQQ2−P2\therefore \quad W=\frac{P Q}{\sqrt{Q^2-P^2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

বলত্রয়ের লব্ধি পরিকেন্দ্র O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। question image Q এবং RR এর লব্ধি DD বিন্দুতে, ∴Q⋅BD=R⋅CD\therefore Q \cdot B D=R \cdot C D বা, QR=CDBD\frac{Q}{R}= \frac{C D}{B D} CDODBDOD\frac{C D}{O D} \frac{B D}{O D} =sin⁡∠CODsin⁡∠OCDsin⁡∠BODsin⁡∠OBD=sin⁡∠CODsin⁡∠BOD=\frac{\frac{\sin \angle \mathrm{COD}}{\sin \angle \mathrm{OCD}}}{\frac{\sin \angle \mathrm{BOD}}{\sin \angle \mathrm{OBD}}}=\frac{\sin \angle \mathrm{COD}}{\sin \angle \mathrm{BOD}} △OBC−ΩOB=OC∴∠OCD=∠OBD\begin{aligned} & \triangle \mathrm{OBC}-\Omega \mathrm{OB}=\mathrm{OC} \\ & \therefore \angle \mathrm{OCD}=\angle \mathrm{OBD}\end{aligned} =sin⁡(180∘−∠AOC)sin⁡(180∘−∠AOB)=sin⁡∠AOCsin⁡∠AOB=\frac{\sin \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{AOC}\right)}{\sin \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{AOB}\right)}=\frac{\sin \angle \mathrm{AOC}}{\sin \angle \mathrm{AOB}} বা, QR=sin⁡2Bsin⁡2C\frac{Q}{R}=\frac{\sin 2 B}{\sin 2 C} ACA C চাপে, ∠AOC=2B\angle A O C=2 B ABA B চাপে, ∠AOB=2C\angle A O B=2 C বা, Q:R=sin⁡2B:sin⁡2CQ: R=\sin 2 B: \sin 2 C =2sin⁡B⋅cos⁡B:2sin⁡C:cos⁡C=2 \sin B \cdot \cos B: 2 \sin C: \cos C =2b2ra2+c2−b22ac:2⋅c2r⋅a2+b2−c22ab=2 \frac{b}{2 r} \frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}: 2 \cdot \frac{c}{2 r} \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b} =b2(a2+c2−b2):c2(a2+b2−c2)=b^2\left(a^2+c^2-b^2\right): c^2\left(a^2+b^2-c^2\right) অনুরূপে, P:Q=a2(b2+c2−a2):b2(a2+c2−b2)P:Q =a^2\left(b^2+c^2-a^2\right): b^2\left(a^2+c^2-b^2\right) ∴P:Q:R=a2(b2+c2−a2):b2(a2+c2−b2):c2(a2+b2−c2).\therefore P: Q: R=a^2\left(b^2+c^2-a^2\right): b^2\left(a^2+c^2-b^2\right): c^2\left(a^2+b^2-c^2\right) . (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 8: স্থিতিবিদ্যা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: L,M,N\mathrm{L, M, N} মানের সুস্থিত তিনটি বলের ক্রিয়ারেখা ABC\mathrm{ABC} ত্রিভুজের BC,CA,AB\mathrm{BC, CA, AB} বাহুর সমান্তরাল। বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25,60,6525, 60, 65 সে.মি.। L\mathrm{L} ও M\mathrm{M} মানের বলদ্বয়ের সমষ্টি 5151 গ্রাম ওজন। দৃশ্যকল্প-২: 2020 সে.মি. ব্যবধানে একটি সুষম হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে 8N8\mathrm{N} ও 4N4\mathrm{N} মানের বিপরীতমুখী দুইটি সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে।

Jessore · 2017

ক
4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান 4N4\mathrm{N} করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত দূরত্বে সরে যাবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

4N4\mathrm{N} ও 23N2\sqrt{3}\mathrm{N} মানের বলদ্বয় 30°30° কোণে ক্রিয়া করে। 4N4\mathrm{N} মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লব্ধাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Sylhet · 2017

ক
বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S2=S^2 = R(R - Q)

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

দৃশ্যকল্প-১ এ F1∝cos⁡P,F2∝cos⁡Q\mathrm{F}_1 \propto \cos \mathrm{P}, \mathrm{F}_2 \propto \cos \mathrm{Q} এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, R−φ=12(R+Q−P)\mathrm{R}-\varphi=\frac{1}{2}(\mathrm{R}+\mathrm{Q}-\mathrm{P})

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC, CA, AB বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 5, 7, 9 একক মানের তিনটি বল ক্রিয়ারত। দৃশ্যকল্প-২: ৪ মিটার দীর্ঘ 12kg ওজনের একটি সুষম তক্তা দুইটি খুঁটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থির আছে। একটি খুঁটি A প্রান্ত এবং অন্যটি B প্রান্ত হতে 1 মিটার ভিতরে অবস্থিত।

Chittagong · 2017

ক
৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বালকের ওজন কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

উপাত্ত: question image

Comilla · 2017

ক
দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।
খ
উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ
উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন করা হলে, তিনটি বলই লাল অথবা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এ প্রত্যেক বলের মান [গণিত] করে বৃদ্ধি করা হলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কদৃশ্যকল্প-১ হতে বলগুলোর মান নির্ণয় কর।[গণিত] ও [গণিত] মানের বলদ্বয় [গণিত] কোণে ক্রিয়া করে। [গণিত] মানের বল বরাবর বলদদৃশ্যকল্প-২ এ Q, R, S বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে দেখাও যে, S 2 = R(R - Q)দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] এবং F1, F2 এর লব্ধি F হলে দেখাও যে, [গণিত]বলের লম্বাংশ কী ব্যাখ্যা কর।দৃশ্যকল্প-২ হতে একজন বালক তক্তাটিকে না উল্টিয়ে এর উপর দিয়ে B প্রান্তে পৌঁছালে বাদৃশ্যকল্প-১ হতে বলত্রয়ের লব্ধি নির্ণয় কর।৪N ও 5N মানের দুইটি বল 60° কোণে ক্রিয়ারত। বলদ্বয়ের লব্ধির মান কত?উদ্দীপকে উল্লিখিত সাতটি সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।উদ্দীপকের বলগুলি একটি বাক্সে থাকলে এবং বাক্সটি থেকে 3 টি করে বল দৈবভাবে উত্তোলন দুইটি নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার গুণন সূত্রটি প্রতিপাদন কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন