Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাধান করো : [গণিত] যখন [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] , যেখানে n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমাধান করো : যখন

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x এবং g(x)=cos⁡x. g(x)=\cos x \text{. }

উত্তর

বামপক্ষ =2tan⁡−115+cot⁡−17+2tan⁡−118=2 \tan^{-1} \frac{1}{5}+\cot^{-1} 7+2 \tan^{-1} \frac{1}{8} =2(tan⁡−115+tan⁡−118)+cot⁡−17=2\left(\tan^{-1} \frac{1}{5}+\tan^{-1} \frac{1}{8}\right)+\cot^{-1} 7 =2(tan⁡−115+181−1518)+cot⁡−17=2\left(\tan^{-1} \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5} \frac{1}{8}}\right)+\cot^{-1} 7 =2tan⁡−18+54040−140+cot⁡−17=2 \tan^{-1} \frac{\frac{8+5}{40}}{\frac{40-1}{40}}+\cot^{-1} 7 =2tan⁡−11339+tan⁡−117=2 \tan^{-1} \frac{13}{39}+\tan^{-1} \frac{1}{7} =2tan⁡−113+tan⁡−117=2 \tan^{-1} \frac{1}{3}+\tan^{-1} \frac{1}{7} =tan⁡−12⋅131−(13)2+tan⁡−117=\tan^{-1} \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}+\tan^{-1} \frac{1}{7} =tan⁡−1231−19+tan⁡−117=\tan^{-1} \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}+\tan^{-1} \frac{1}{7} =tan⁡−123×98+tan⁡−117=tan⁡−134+tan⁡−117= \tan^{-1} \frac{2}{3} \times \frac{9}{8}+\tan^{-1} \frac{1}{7}=\tan^{-1} \frac{3}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{7} =tan⁡−134+171−3417=tan⁡−12528×2825= \tan^{-1} \frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4} \frac{1}{7}}=\tan^{-1} \frac{25}{28} \times \frac{28}{25} =tan⁡−11=tan⁡−1tan⁡π4=π4== \tan^{-1} 1=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}= ডানপক্ষ ∴2tan⁡−115+cot⁡−17+2tan⁡−118=π4\therefore \quad 2 \tan^{-1} \frac{1}{5}+\cot^{-1} 7+2 \tan^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{4} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f(2x)=sin⁡2xf(2 x)=\sin 2 x f(3x)=sin⁡3xf(3 x)=\sin 3 x g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x g(2x)=cos⁡2xg(2 x)=\cos 2 x প্রদত্ত সমীকরণ, f(x)+f(2x)+f(3x)=1+g(x)+g(2x)f(\mathrm{x})+f(2 \mathrm{x})+f(3 \mathrm{x})=1+\mathrm{g}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(2 \mathrm{x}) বা, sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=1+cos⁡x+cos⁡2x\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=1+\cos x+\cos 2 x বা, sin⁡3x+sin⁡x+sin⁡2x=1+cos⁡2x+cos⁡x\sin 3 x+\sin x+\sin 2 x=1+\cos 2 x+\cos x বা, 2⋅sin⁡3x+x2cos⁡3x−x2+sin⁡2x=2cos⁡2x+cos⁡x2 \cdot \sin \frac{3 x+x}{2} \cos \frac{3 x-x}{2}+\sin 2 x=2 \cos^2 x+\cos x বা, 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=cos⁡x(2cos⁡x+1)2 \sin 2 x \cos x+\sin 2 x=\cos x(2 \cos x+1) বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)=cos⁡x(2cos⁡x+1)\sin 2 x(2 \cos x+1)=\cos x(2 \cos x+1) বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)−cos⁡x(2cos⁡x+1)=0\sin 2 x(2 \cos x+1)-\cos x(2 \cos x+1)=0 বা, (2cos⁡x+1)(sin⁡2x−cos⁡x)=0(2 \cos x+1)(\sin 2 x-\cos x)=0 হয় 2cos⁡x+1=02 \cos \mathrm{x}+1=0 বা, cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2} বা, cos⁡x=−cos⁡π3\cos x=-\cos \frac{\pi}{3} বা, cos⁡x=cos⁡(π−π3)\cos x=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) বা, cos⁡x=cos⁡2π3\cos x=\cos \frac{2 \pi}{3} ∴x=2nπ±2π3\therefore \quad x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} যেখানে n পূর্ণসংখ্যা অথবা, sin⁡2x−cos⁡x=0\sin 2 x-\cos x=0 বা, 2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02 \sin x \cos x-\cos x=0 বা, cos⁡x(2sin⁡x−1)=0\cos x(2 \sin x-1)=0 আবার, হয় cos⁡x=0\cos \mathrm{x}=0 বা, cos⁡x=co⁡π2\cos x=\operatorname{co} \frac{\pi}{2} ∴x=(2n+1)π2\therefore \mathrm{x}=(2 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{2} যেখানে n পূর্ণসংখ্যা অথবা, 2sin⁡x−1=02 \sin x-1=0 বা, sin⁡x=12=sin⁡π6\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6} ∴x=nπ+(−1)nπ6\therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6} যেখানে n পূর্ণসংখ্যা ∴x=(2n+1)π2,2nπ±2π3,nπ+(−1)nπ6\therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{6}; যেখানে nn যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x এবং g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x প্রদত্ত সমীকরণ, (f(x))2−3(g(x))2=0(f(x))^2-3(g(x))^2=0 বা, sin⁡2x−3cos⁡2x=0\sin^2 x-3 \cos^2 x=0 বা, sin⁡2x−3+3sin⁡2x=0\sin^2 x-3+3 \sin^2 x=0 বা, 4sin⁡2x=34 \sin^2 x=3 বা, sin⁡2x=34\sin^2 x=\frac{3}{4} বা, sin⁡x=±32=±sin⁡π3\sin x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}= \pm \sin \frac{\pi}{3} ∴x=nπ±(−1)nπ3\therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi \pm(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{3}, যেখানে n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এখন, n=0\mathrm{n}=0 হলে, x=−π3,π3x=-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} n=−1n=-1 হলে, x=(−π−π3),(−π+π3)=−4π3,−2π3x=\left(-\pi-\frac{\pi}{3}\right),\left(-\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{4 \pi}{3},-\frac{2 \pi}{3} n=1n=1 হলে, x=(π−π3),(π+π3)=2π3,4π3x=\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right),\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3} n=−n=- হলে, x=(−2π−π3),(−2π+π3)=−7π3,−5π3x=\left(-2 \pi-\frac{\pi}{3}\right),\left(-2 \pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{7 \pi}{3},-\frac{5 \pi}{3} −π<x<π-\pi<x<\pi ব্যবধিতে, x=−π3,−2π3,π3,2π3x=-\frac{\pi}{3},-\frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন