Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ Higher Math 2nd Paper

HSC Higher Math 2nd Paper এর Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৯৬২

প্রশ্ন

Higher Math 2nd Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর

বামপক্ষ =tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)= \tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) =tan⁡−1cot⁡3x−cot⁡5x1+cot⁡3xcot⁡5x= \tan^{-1}\frac{\cot 3\mathrm{x} - \cot 5\mathrm{x}}{1+\cot 3\mathrm{x}\cot 5\mathrm{x}} =tan⁡−1tan⁡5x−tan⁡3x1+tan⁡3xtan⁡5x= \tan^{-1}\frac{\tan 5\mathrm{x} - \tan 3\mathrm{x}}{1+\tan 3\mathrm{x}\tan 5\mathrm{x}} =tan⁡−1tan⁡(5x−3x)= \tan^{-1}\tan(5\mathrm{x}-3\mathrm{x}) =tan⁡−1tan⁡2x= \tan^{-1}\tan 2\mathrm{x} =2x== 2\mathrm{x} = ডানপক্ষ ∴tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\therefore \tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}। (প্রমাণিত)
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর

question image দৃশ্যকল্প-১ হতে, cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta-\tan \theta=\frac{6}{5} বা, cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ=65\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{6}{5} বা, cos⁡2θ−sin⁡2θsin⁡θcos⁡θ=65\frac{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}=\frac{6}{5} বা, cos⁡2θ−sin⁡2θ2sin⁡θcos⁡θ=35\frac{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}=\frac{3}{5} বা, cos⁡2θsin⁡2θ=35\frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}=\frac{3}{5} বা, cot⁡2θ=35\cot 2 \theta=\frac{3}{5} বা, 2θ=cot⁡−135=sin⁡−15342 \theta=\cot^{-1} \frac{3}{5}=\sin^{-1} \frac{5}{\sqrt{34}} ∴θ=12sin⁡−1534\therefore \quad \theta=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{5}{\sqrt{34}}. (প্রমাণিত)
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ, 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2 \theta+2(\sin \theta+\cos \theta)+1=0 বা, 2.2sin⁡θcos⁡θ+2sin⁡θ+2⋅cos⁡θ+1=02.2 \sin \theta \cos \theta+2 \sin \theta+2 \cdot \cos \theta+1=0 বা, 2sin⁡θ(2cos⁡θ+1)+1(2cos⁡θ+1)=02 \sin \theta(2 \cos \theta+1)+1(2 \cos \theta+1)=0 বা, (2cos⁡θ+1)(2sin⁡θ+1)=0(2 \cos \theta+1)(2 \sin \theta+1)=0 হয় 2cos⁡θ+1=02 \cos \theta+1=0 বা, 2cos⁡θ=−12 \cos \theta=-1 বা, cos⁡θ=−12\cos \theta=-\frac{1}{2} বা, cos⁡θ=cos⁡2π3\cos \theta=\cos \frac{2 \pi}{3} বা, θ=2nπ±2π3\theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} আবার, 2sin⁡θ+1=02 \sin \theta+1=0 বা, 2sin⁡θ=−12 \sin \theta=-1 বা, sin⁡θ=−12\sin \theta=-\frac{1}{2} বা, sin⁡θ=sin⁡(−π6)\sin \theta=\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) বা, θ=nπ+(−1)n(−π6)\theta=n \pi+(-1)^n\left(-\frac{\pi}{6}\right) যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} নির্ণেয় সমাধান : θ=2nπ±2π3,nπ+(−1)n(−π6)\theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, n \pi+(-1)^n\left(-\frac{\pi}{6}\right) যেখানে n∈Zn \in \mathcal{Z}.

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর

প্রদত্ত কনিক, 4x2−9y2−1=04 \mathrm{x}^2-9 \mathrm{y}^2-1=0 বা, 4x2−9y2=14 x^2-9 y^2=1 বা, x214−y219=1\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1 বা, x2(12)2−y2(13)2=1\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}=1 ইহাই কনিকটির প্রমাণ আকার যা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। সুতরাং কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর

এখানে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, e = 1 ∴ কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(5, 2), শীর্ষবিন্দু A(3, 4), নিয়ামকরেখা MZM′,ZMZM^{\prime}, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α,β),\alpha, \beta), পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x, y), যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A সেহেতু 3=α+523=\frac{\alpha+5}{2} বা, α+5=6\alpha+5=6 বা, α=6−5\alpha=6-5 বা, α=1\alpha=1 এবং 4=β+224=\frac{\beta+2}{2} বা, β+2=8\beta+2=8 বা, β=8−2\beta=8-2 বা, β=6\beta=6 ∴ Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 6) অক্ষরেখা AS এর ঢাল =4−23−5=2−2=−1=\frac{4-2}{3-5}=\frac{2}{-2}=-1 ∴ নিয়ামক রেখা MZM′MZM^{\prime} এর ঢাল =−1−1=1=-\frac{1}{-1}=1 নিয়ামক র্রেথা MZM′MZM^{\prime} এর্র সমীকর্রণ, y−6=1⋅(x−1)\mathrm{y}-6=1 \cdot(\mathrm{x}-1) বা, y−6=x−1y-6=x-1 বা, x−1−y+6=0x-1-y+6=0 বा, x−y+5=0x-y+5=0 পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = PM বা, (x−5)2+(y−2)2=∣x−y+512+(−1)2∣\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2}=\left|\frac{x-y+5}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| বা, (x−5)2+(y−2)2=(x−y+5)21+1(x-5)^2+(y-2)^2=\frac{(x-y+5)^2}{1+1} বা, x2−10x+25+y2+4y+4=x2+y2+25−2xy−10y+10x2x^2-10 x+25+y^2+4 y+4=\frac{x^2+y^2+25-2 x y-10 y+10 x}{2} বা, x2−10x+y2−4y+29=x2+y2+25−2xy−10y+10x2x^2-10 x+y^2-4 y+29=\frac{x^2+y^2+25-2 x y-10 y+10 x}{2} বা, 2x2−20x+2y2−8y+58=x2+y2+25−2xy−10y+10x2 x^2-20 x+2 y^2-8 y+58=x^2+y^2+25-2 x y-10 y+10 x বা, 2x2−20x+2y2−8y+58−x2−y2−25+2xy+10y−10x=02 x^2-20 x+2 y^2-8 y+58-x^2-y^2-25+2 x y+10 y-10 x=0 বা, x2+2xy+y2−30x+2y+33=0x^2+2 x y+y^2-30 x+2 y+33=0 বা, (x+y)2−30x+2y+33=0(x+y)^2-30 x+2 y+33=0 ∴ কণিকের সমীকরণ (x+y)2-30x+2y+33-0
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 বা, 6(x2−6x+9)+4(y2−y+14)+43−55=06\left(x^2-6 x+9\right)+4\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+43-55=0 বা, 6(x−3)2+4(y−12)2−12=06(x-3)^2+4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-12=0 বা, 6(x−3)2+4(y−12)2=126(x-3)^2+4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=12 বা, (x−3)22+(y−12)23=1\frac{(x-3)^2}{2}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{3}=1 বা, (x−3)2(2)2+(y−12)2(3)2=1\frac{(x-3)^2}{(\sqrt{2})^2}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{(\sqrt{3})^2}=1 বা, X2a2+Y2b2=1\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1; যেখানে X=x−3,Y=y−12,a=2X=x-3, Y=y-\frac{1}{2}, a=\sqrt{2}, b=3b=\sqrt{3} অর্থাৎ a<ba<b ∴\therefore সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, e=1−a2b2=1−(2)2(3)2=1−23=3−23=13=13\begin{aligned} e & =\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}} \\ & =\sqrt{1-\frac{(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2}} \\ & =\sqrt{1-\frac{2}{3}} \\ & =\sqrt{\frac{3-2}{3}} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned} এবং Y=±Y= \pm be বা, y−12=±3⋅13y-\frac{1}{2}= \pm \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} বা, y−12=±1y-\frac{1}{2}= \pm 1, বা, y=±1+12y= \pm 1+\frac{1}{2} বা, y=−12,32\mathrm{y}=-\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ∴\therefore উপকেন্দ্র (3,−12)\left(3, \frac{-1}{2}\right) ও (3,32)\left(3, \frac{3}{2}\right) নিয়ামকের সমীকরণ, Y=±beY= \pm \frac{b}{e} বা, y−12=±313y-\frac{1}{2}= \pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} বা, y−12=±3\mathrm{y}-\frac{1}{2}= \pm 3 বা, 2y−12=±3\frac{2 y-1}{2}= \pm 3 বা, 2y−1=±62 y-1= \pm 6 বা, 2y−1±6=02 y-1 \pm 6=0 ∴2y−7=0\therefore \quad 2 \mathrm{y}-7=0 এবং 2y+5=02 \mathrm{y}+5=0 ∴\therefore উপকেন্দ্র (3,−12)B(3,32)\left(3,-\frac{1}{2}\right) B\left(3, \frac{3}{2}\right) এবং নিয়ামকের সমীকরণ 2y−7=02 y-7=0

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 2nd Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর

বর্জনশীল ঘটনা: যদি দুইটি ঘটনার মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু না থাকে তবে ঘটনা দুইটিকে পরস্পরের বর্জনশীল ঘটনা বলে। অবর্জনশীল ঘটনা: যদি দুইটি ঘটনার মধ্যে কোনো সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে ঐ ঘটনা দুইটিকে অবর্জনশীল ঘটনা বলে।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর

দুইটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র: question image নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(s) = 4 × 6 = 24 টি ধরি, A = মুদ্রায় ২টি হেড ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। A এর অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ: {(HH,1),(HH,3),(HH,5)}\{(\mathrm{HH}, 1),(\mathrm{HH}, 3),(\mathrm{HH}, 5)\} ∴n(A)=3P(A)=n(A)n(S)=324=18\begin{aligned} \therefore \quad \mathrm{n}(\mathrm{A}) & =3 \\ \mathrm{P}(\mathrm{A}) & =\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\end{aligned} সুতরাং, ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা 18\frac{1}{8}
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর

পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের সারণি: question image ∴ পরিমিত ব্যবধান σ=∑fixiN−(∑fixiN)2=3598654−(133854)2=666.402−613.938=52.4694=7.2435\begin{aligned} \sigma & =\sqrt{\frac{\sum f_i x_i}{N}-\left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2} \\ & =\sqrt{\frac{35986}{54}-\left(\frac{1338}{54}\right)^2} \\ & =\sqrt{666.402-613.938} \\ & =\sqrt{52.4694}=7.2435\end{aligned} ∴ নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান 7.2435।

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো