Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ এর আলোকে [গণিত] সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর: উদ্দীপক-২ হতে পাই, [গণিত] অথবা, [গণিত] নির্ণেয় সমাধানঃ [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ এর আলোকে সমীকরণের সমাধান নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: sec⁡α=px,sec⁡β=qy\sec \alpha=\frac{p}{x}, \sec \beta=\frac{q}{y}; উদ্দীপক-২: f(x)=sec⁡xf(x)=\sec x

Barisal · 2021

উত্তর

sec⁡2(cot⁡−11)+sin⁡2(cos⁡−112)\sec^{2}\left(\cot^{-1} 1\right)+\sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{2}\right) =1+cot⁡2(cot⁡−11)+1−cos⁡2(cos⁡−112)=1+\cot^{2}\left(\cot^{-1} 1\right)+1-\cos^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{2}\right) =2+1−14=2+1-\frac{1}{4} =114=\frac{11}{4}

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে পাই, sec⁡α=px\sec \alpha=\frac{p}{x} ⇒α=sec⁡−1px\Rightarrow \alpha=\sec^{-1} \frac{p}{x} ⇒α=cos⁡−1xp\Rightarrow \alpha=\cos^{-1} \frac{x}{p} এবং sec⁡β=qy\sec \beta=\frac{q}{y} ⇒β=sec⁡−1qy\Rightarrow \beta=\sec^{-1} \frac{q}{y} ⇒β=cos⁡−1yq\Rightarrow \beta=\cos^{-1} \frac{y}{q} প্রশ্নমতে, α+β=γ\alpha+\beta=\gamma ⇒cos⁡−1xp+cos⁡−1yq=γ\Rightarrow \cos^{-1} \frac{x}{p}+\cos^{-1} \frac{y}{q}=\gamma ⇒cos⁡−1{xp⋅yq−(1−x2p2)(1−y2q2)}=γ\Rightarrow \cos^{-1}\left\{\frac{x}{p} \cdot \frac{y}{q}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{p^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{q^{2}}\right)}\right\}=\gamma ⇒xp⋅yq−(1−x2p2)(1−y2q2)=cos⁡γ\Rightarrow \frac{x}{p} \cdot \frac{y}{q}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{p^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{q^{2}}\right)}=\cos \gamma ⇒(1−x2p2)(1−y2q2)=(xp⋅yq−cos⁡γ)\Rightarrow \sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{p^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{q^{2}}\right)}=\left(\frac{x}{p} \cdot \frac{y}{q}-\cos \gamma\right) ⇒1−x2p2−y2q2+x2p2⋅y2q2=x2p2⋅y2q2−2xypqcos⁡γ+cos⁡2γ\Rightarrow 1-\frac{x^{2}}{p^{2}}-\frac{y^{2}}{q^{2}}+\frac{x^{2}}{p^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{q^{2}}=\frac{x^{2}}{p^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{q^{2}}-2 \frac{x y}{p q} \cos \gamma+\cos^{2} \gamma ⇒x2p2−2xypqcos⁡γ+y2q2=1−cos⁡2γ=sin⁡2γ\Rightarrow \frac{x^{2}}{p^{2}}-\frac{2 x y}{p q} \cos \gamma+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1-\cos^{2} \gamma=\sin^{2} \gamma ∴x2p2−2xypqcos⁡γ+y2q2=sin⁡2γ\therefore \frac{x^{2}}{p^{2}}-\frac{2 x y}{p q} \cos \gamma+\frac{y^{2}}{q^{2}}=\sin^{2} \gamma (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, f(x)=sec⁡xf(x)=\sec x ∴f(x)f(3x)+2=0\therefore f(x) f(3 x)+2=0 ⇒sec⁡x⋅sec⁡3x+2=0\Rightarrow \sec x \cdot \sec 3 x+2=0 ⇒1cos⁡x⋅1cos⁡3x=−2\Rightarrow \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos 3 x}=-2 ⇒cos⁡x⋅cos⁡3x=−12\Rightarrow \cos x \cdot \cos 3 x=-\frac{1}{2} ⇒2cos⁡3x⋅cos⁡x+1=0\Rightarrow 2 \cos 3 x \cdot \cos x+1=0 ⇒cos⁡(3x+x)+cos⁡(3x−x)+1=0\Rightarrow \cos (3 x+x)+\cos (3 x-x)+1=0 ⇒cos⁡4x+cos⁡2x+1=0\Rightarrow \cos 4 x+\cos 2 x+1=0 ⇒2cos⁡22x+cos⁡2x=0\Rightarrow 2 \cos 22 x+\cos 2 x=0 ⇒cos⁡2x(2cos⁡2x+1)=0\Rightarrow \cos 2 x(2 \cos 2 x+1)=0 ∴cos⁡2x=0\therefore \cos 2 x=0 ⇒2x=(2n+1)π2\Rightarrow 2 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ⇒x=(2n+1)π4,n∈Z\Rightarrow x=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡2x=−12=cos⁡2π3\cos 2 x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} ⇒2x=2nπ±2π3\Rightarrow 2 x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} ∴x=nπ±π3,n∈Z\therefore x=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} ∴\therefore নির্ণেয় সমাধানঃ x=(2n+1)π4,nπ±π3,n∈Zx=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন