Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর : [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ থেকে প্রমাণ কর : 2f(a+ba−bcot⁡θ2)=sec⁡−1ag(θ)+ba+bg⁡(θ)2 f\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right)=\sec^{-1} \frac{ag(\theta)+b}{a+\operatorname{bg}(\theta)}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cot⁡−1xf(\mathrm{x})=\cot^{-1} \mathrm{x} এবং g(x)=sec⁡x\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sec \mathrm{x} বামপক্ষ =2f(a+ba−bcot⁡θ2)=2 f\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right) =2cot⁡−1(a+ba−bcot⁡θ2)=2tan⁡−1(1a+ba−bcot⁡θ2)=2tan⁡−1(a−ba+btan⁡θ2)=cos⁡−11−(a−ba+btan⁡θ2)21+(a−ba+btan⁡θ2)2=cos⁡−11−a−ba+btan⁡2θ21+a−ba+btan⁡2θ2=sec⁡−11+a−ba+btan⁡2θ21−a−ba+btan⁡2θ2\begin{aligned} & =2 \cot^{-1}\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right)=2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}}\right) \\ & \left.=2 \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\cos^{-1} \frac{1-\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)^2}{1+\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right.}\right)^2 \\ & =\cos^{-1} \frac{1-\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1+\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}=\sec^{-1} \frac{1+\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}{1-\frac{a-b}{a+b} \tan^2 \frac{\theta}{2}}\end{aligned} =sec⁡−1(a+b)+(a−b)θ2sin⁡2θ2cos⁡2θ2sin⁡2θ2=sec⁡−1(a+b)−(a−b)cos⁡2θ2+(a−b)sin⁡2θ2cos⁡2θ2(a+b)cos⁡2θ2−(a−b)sin⁡2θ2=sec⁡−1acos⁡2θ2+bcos⁡2θ2+asin⁡2θ2−bsin⁡2θ2acos⁡2θ2+bsin⁡2θ2−asin⁡2θ2+bsin⁡2θ2=sec⁡−1a(cos⁡2θ2+sin⁡2θ2)+b(cos⁡2θ2−sin⁡2θ2)a(cos⁡2θ2−sin⁡2θ2)+b(cos⁡2θ2+sin⁡2θ2)=sec⁡−1a⋅1+bcos⁡2acos⁡θ+b⋅1[∵sin⁡2A+cos⁡2A=1;cos⁡2a−sin⁡2a=cos⁡2a]=sec⁡−1a+bsec⁡θa=sec⁡−1asec⁡θ+ba+bsec⁡θ=sec⁡−1ag(θ)+ba+bg(θ)[∵g(θ)=sec⁡θ]\begin{aligned} &= \sec^{-1} \frac{(a+b)+(a-b) \frac{\theta}{2} \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}{\frac{\sin^2 \theta}{2}} \\ &= \sec^{-1} \frac{(a+b)-(a-b) \frac{\cos^2 \frac{\theta}{2}+(a-b) \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\cos^2 \frac{\theta}{2}}}{(a+b) \cos^2 \frac{\theta}{2}-(a-b) \sin^2 \frac{\theta}{2}} \\ &=\sec^{-1} \frac{a \cos^2 \frac{\theta}{2}+b \cos^2 \frac{\theta}{2}+a \sin^2 \frac{\theta}{2}-b \sin^2 \frac{\theta}{2}}{a \cos^2 \frac{\theta}{2}+b \sin^2 \frac{\theta}{2}-a \sin^2 \frac{\theta}{2}+b \sin^2 \frac{\theta}{2}} \\ &=\sec^{-1} \frac{a\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}+\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)+b\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}-\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)}{a\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}-\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)+b\left(\cos^2 \frac{\theta}{2}+\sin^2 \frac{\theta}{2}\right)} \\ &=\sec^{-1} \frac{a \cdot 1+b \cos^2}{a \cos \theta+b \cdot 1} \\ & \quad\left[\because \sin^2 A+\cos^2 A=1 ; \cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2 a\right] \\ &=\sec^{-1} \frac{a+\frac{b}{\sec \theta}}{a}=\sec^{-1} \frac{a \sec \theta+b}{a+b \sec \theta} \\ &=\sec^{-1} \frac{a g(\theta)+b}{a+b g(\theta)}[\because g(\theta)=\sec \theta]\end{aligned} = ডানপক্ষ ∴2f(a+ba−bcot⁡θ2)=sec⁡−1ag(θ)+ba+bg(θ)\therefore 2 f\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} \cot \frac{\theta}{2}\right)=\sec^{-1} \frac{\mathrm{ag}(\theta)+\mathrm{b}}{\mathrm{a}+\mathrm{bg}(\theta)}. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন