Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাধান কর : [গণিত] ; যখন [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . বা, [গণিত] , যেখানে [গণিত] বা. [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমাধান কর : ; যখন

উদ্দীপক

f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

উত্তর

দেওয়া আছে, sin⁡x−sin⁡x2=0\sin x-\sin \frac{x}{2}=0 বা. 2cos⁡x+x22sin⁡x−x22=02 \cos \frac{x+\frac{x}{2}}{2} \sin \frac{x-\frac{x}{2}}{2}=0 বা, 2cos⁡(3x2×12)sin⁡(x2×12)=02 \cos \left(\frac{3 x}{2} \times \frac{1}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2} \times \frac{1}{2}\right)=0 বা, 2cos⁡3x4sin⁡x4=02 \cos \frac{3 x}{4} \sin \frac{x}{4}=0 বা, cos⁡3x4⋅sin⁡x4=0\cos \frac{3 x}{4} \cdot \sin \frac{x}{4}=0 হয়. cos⁡3x4=0\cos \frac{3 x}{4}=0 বা, 3x4=(2n+1)π2\frac{3 x}{4}=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} বা, x=2(2n+1)π3x=2(2 n+1) \frac{\pi}{3} ∴x=(4n+2)π3\therefore \quad x=(4 n+2) \frac{\pi}{3} অথবা, sin⁡x4=0\sin \frac{x}{4}=0 বা, x4=nπ\frac{x}{4}=n \pi; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=4nπ\therefore x=4 n \pi n=0n=0 হলে , x=2π3,0x=\frac{2 \pi}{3}, 0 n=1n=1 হলে, x=2π4πx=2 \pi 4 \pi n=−1n=-1 হলে, x=−2π3,−4πx=-\frac{2 \pi}{3},-4 \pi n=2n=2 হলে, x=10π3,8πx=\frac{10 \pi}{3}, 8 \pi ∴0≤x≤2π\therefore \quad 0 \leq x \leq 2 \pi সীমার মধ্যে x=0,2π3,2πx=0, \frac{2 \pi}{3}, 2 \pi. নির্ণেয় মান : x=0,2π3,2πx=0, \frac{2 \pi}{3}, 2 \pi.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta প্রদত্ত সমীকরণ, asin⁡θf(θ)+bf(θ)=c\frac{\mathrm{a} \sin \theta}{f(\theta)}+\frac{\mathrm{b}}{f(\theta)}=\mathrm{c} বা. asin⁡θcos⁡θ+bcos⁡θ=c\frac{a \sin \theta}{\cos \theta}+\frac{b}{\cos \theta}=c বা, asin⁡θ+b=ccos⁡θa \sin \theta+b=c \cos \theta বা. asin⁡θ−ccos⁡θ=−ba \sin \theta-c \cos \theta=-b…...(i)\ldots...(i) সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে, asin⁡α−ccos⁡α=−ba \sin \alpha-c \cos \alpha=-b…...(ii)\ldots...(ii) এবং asin⁡β−ccos⁡β=−ba \sin \beta-c \cos \beta=-b…...(iii)\ldots...(iii) (ii)(ii) নং এবং (iii)(iii) নং হতে পাই, বা. asin⁡α−ccos⁡α=asin⁡β−c⋅cos⁡βa \sin \alpha-c \cos \alpha=a \sin \beta-c \cdot \cos \beta বা. asin⁡α−asin⁡β=c⋅cos⁡α−ccos⁡βa \sin \alpha-a \sin \beta=c \cdot \cos \alpha-c \cos \beta বা, a(sin⁡α−sin⁡β)=−c(cos⁡β−cos⁡α)a(\sin \alpha-\sin \beta)=-c(\cos \beta-\cos \alpha) বা. cos⁡β−cos⁡αsin⁡α−sin⁡β=a−c\frac{\cos \beta-\cos \alpha}{\sin \alpha-\sin \beta}=\frac{a}{-c} বা, 2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)=−ac\frac{2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=-\frac{a}{c} বা, sin⁡(α+β2)cos⁡(α+β2)=−ac\frac{\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=-\frac{a}{c} বা. tan⁡(α+β2)=−ac\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=-\frac{a}{c} বামপক্ষ =tan⁡(α+β)=\tan (\alpha+\beta) =tan⁡(2⋅α+β2)=2tan⁡(α+β2)1−tan⁡2(α+β2)=2×(−ac)1−(−ac)2=−2ac1−a2c2=−2acc2−a2c2=−2ac−(a2−c2)c2\begin{aligned} & =\tan \left(2 \cdot \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{2 \tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} \\ & =\frac{2 \times\left(-\frac{a}{c}\right)}{1-\left(-\frac{a}{c}\right)^2}=\frac{-\frac{2 a}{c}}{1-\frac{a^2}{c^2}}=\frac{-\frac{2 a}{c}}{\frac{c^2-a^2}{c^2}}=\frac{-\frac{2 a}{c}}{\frac{-\left(a^2-c^2\right)}{c^2}}\end{aligned} =2ac×c2a2−c2=2aca2−c2==\frac{2 a}{c} \times \frac{c^2}{a^2-c^2}=\frac{2 a c}{a^2-c^2}= ডানপক্ষ ∴tan⁡(α+β)=2aca2−c2\therefore \tan (\alpha+\beta)=\frac{2 \mathrm{ac}}{\mathrm{a}^2-\mathrm{c}^2} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta প্রদত্ত সমীকরণ, log⁡2(sin⁡θ−f(θ))3π=2(tan⁡−16+tan⁡−175)\log_2(\sin \theta-f(\theta))^{3 \pi}=2\left(\tan^{-1} 6+\tan^{-1} \frac{7}{5}\right) বা, log⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)3π=2(π+tan⁡−16+751−6×75)[∵6×75>1]\log_2(\sin \theta-\cos \theta)^{3 \pi}=2\left(\pi+\tan^{-1} \frac{6+\frac{7}{5}}{1-6 \times \frac{7}{5}}\right)\left[\because 6 \times \frac{7}{5}>1\right] বা, log⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)3π=2(π+tan⁡−1375−375)\log_2(\sin \theta-\cos \theta)^{3 \pi}=2\left(\pi+\tan^{-1} \frac{\frac{37}{5}}{\frac{-37}{5}}\right) বা, 3πlog⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=2{π+tan⁡−1(−1)}3 \pi \log_2(\sin \theta-\cos \theta)=2\left\{\pi+\tan^{-1}(-1)\right\} বা, 3πlog⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=2(π−π4)3 \pi \log_2(\sin \theta-\cos \theta)=2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) বা, 3πlog⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=2×3π4=3π23 \pi \log_2(\sin \theta-\cos \theta)=2 \times \frac{3 \pi}{4}=\frac{3 \pi}{2} বা, log⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=12\log_2(\sin \theta-\cos \theta)=\frac{1}{2} বা, sin⁡θ−cos⁡θ=212=2\sin \theta-\cos \theta=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} বা, 12sin⁡θ−12cos⁡θ=22\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} [উভয়পক্ষকে 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} দ্বারা ভাগ করে] বা, sin⁡θ⋅sin⁡π4−cos⁡θ⋅sin⁡π4=1\sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{4}-\cos \theta \cdot \sin \frac{\pi}{4}=1 বা, sin⁡(θ−π4)=1\sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=1. বা, θ−π4=(4n+1)π2\theta-\frac{\pi}{4}=(4 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} বা. θ=2nπ+π2+π4=2nπ+3π4\theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{3 \pi}{4} ∴θ=(8n+3)π4\therefore \quad \theta=(8 n+3) \frac{\pi}{4} এখন, n=0n = 0 হলে, θ=3π4\theta=\frac{3 \pi}{4} n=1n = 1 হলে, θ=11π4\theta=\frac{11 \pi}{4} n=−1n = - 1 হলে, θ=−5π4\theta=-\frac{5 \pi}{4} n=2n = 2 হলে, θ=19π4\theta=\frac{19 \pi}{4} n=−2n = - 2 হলে, θ=−13π4\theta=-\frac{13 \pi}{4} −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi ব্যবধিতে θ=−5π4,3π4\theta=-\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{4} নির্ণেয় সমাধান : θ=−5π4,3π4\theta=-\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন