Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের সমীকরণটির দুইটি মূল [গণিত] ও [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ... (i) (i) নং সমীকরণের মূল দুটি [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] ও [গণিত] দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। [গণিত] (i) নং হতে পাই, [গণিত] ... (ii) [গণিত] ... (iii) (ii) এবং (iii) নং হতে পাঁই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, a. [গণিত] বা; [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের সমীকরণটির দুইটি মূল ও হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

উদ্দীপক : acos⁡θ+bsin⁡θ=ca \cos \theta+b \sin \theta=c

উত্তর

question image প্রদত্ত রাশি =sin⁡cot⁡−1tan⁡cos⁡−1x=\sin \cot^{-1} \tan \cos^{-1} x =sin⁡cot⁡−1tan⁡tan⁡−11−x2x=\sin \cot^{-1} \tan \tan^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} =sin⁡cot⁡−11−x2x=\sin \cot^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} =sin⁡sin⁡−1x1=x==\sin \sin^{-1} \frac{x}{1}=x= ডানপক্ষ নির্ণেয় মান : xx .

উত্তর

দেওয়া আছে, acos⁡θ+bsin⁡θ=c\mathbf{a} \cos \theta+\mathbf{b} \sin \theta=\mathbf{c} এখন, a=1,b=1a=1, b=1 এবং c=cos⁡2θ+sin⁡2θc=\cos 2 \theta+\sin 2 \theta হলে,  1. cos⁡θ+1.bsin⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ\text{ 1. } \cos \theta+1 . \mathrm{b} \sin \theta=\cos 2 \theta+\sin 2 \theta বা, cos⁡θ+sin⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ\cos \theta+\sin \theta=\cos 2 \theta+\sin 2 \theta বা, cos⁡θ−cos⁡2θ=sin⁡2θ−sin⁡θ\cos \theta-\cos 2 \theta=\sin 2 \theta-\sin \theta বা, 2sin⁡2x+θ2sin⁡2θ−θ2=2cos⁡2θ+θ2sin⁡2θ−θ22 \sin \frac{2 \mathrm{x}+\theta}{2} \sin \frac{2 \theta-\theta}{2}=2 \cos \frac{2 \theta+\theta}{2} \sin \frac{2 \theta-\theta}{2} বা, sin⁡3θ2sin⁡θ2=cos⁡3θ2sin⁡θ2\sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}=\cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} [2 দ্বারা ভাগ করে] বা, sin⁡3θ2sin⁡θ2−cos⁡3θ2sin⁡θ2=0\sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}=0 বা, sin⁡θ2(sin⁡3θ2−cos⁡3θ2)=0\sin \frac{\theta}{2}\left(\sin \frac{3 \theta}{2}-\cos \frac{3 \theta}{2}\right)=0 হয় sin⁡θ2=0\sin \frac{\theta}{2}=0 বা, θ2=nπ\frac{\theta}{2}=n \pi যেখানে, nn পূর্ণসংখ্যা ∴θ=2nπ\therefore \theta=2 n \pi অথবা, sin⁡3θ2−cos⁡3θ2=0\sin \frac{3 \theta}{2}-\cos \frac{3 \theta}{2}=0 বা, sin⁡3θ2=cos⁡3θ2\sin \frac{3 \theta}{2}=\cos \frac{3 \theta}{2} বা, sin⁡3θ2cos⁡3θ2=1\frac{\sin \frac{3 \theta}{2}}{\cos \frac{3 \theta}{2}}=1 বা, tan⁡3θ2=tan⁡θ4\tan \frac{3 \theta}{2}=\tan \frac{\theta}{4} বা, 3θ2=nθ+π4\frac{3 \theta}{2}=n \theta+\frac{\pi}{4}, যেখানে, nn পুর্ণসংখ্যা বা, θ=2nπ3+2π12\theta=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{2 \pi}{12} =2nπ3+π6=(4n+1)π6=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=(4 n+1) \frac{\pi}{6} নির্ণেয় সমাধান : θ=2nπ,(4n+1)π6\theta=2 n \pi,(4 n+1) \frac{\pi}{6}; যেখানে nn পুর্ণসংখ্যা।

উত্তর

দেওয়া আছে, acos⁡θ+bsin⁡θ=c\mathrm{a} \cos \theta+\mathrm{b} \sin \theta=\mathrm{c}
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
নং সমীকরণের মূল দুটি α\alpha ও β\beta হলে α\alpha ও β\beta দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। ∴\therefore \quad (i) নং হতে পাই, acos⁡α+bsin⁡α=ca \cos \alpha+b \sin \alpha=c …...(ii)\ldots... (ii) acos⁡β+bsin⁡β=ca \cos \beta+b \sin \beta=c
…...(iii)(ii)\ldots... (iii) (ii)
এবং (iii) নং হতে পাঁই, acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa \cos \alpha+b \sin \alpha=a \cos \beta+b \sin \beta বা, acos⁡α−acos⁡β=bsin⁡β−bsin⁡αa \cos \alpha-a \cos \beta=b \sin \beta-b \sin \alpha বা, a(cos⁡α−cos⁡β)=b(sin⁡β−sin⁡α)a(\cos \alpha-\cos \beta)=b(\sin \beta-\sin \alpha) বা, a. 2sin⁡(α+β2)sin⁡(β−α2)=b⋅2cos⁡(α+β2)sin⁡(β−α2)2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)=b \cdot 2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right) বা; asin⁡(α+β2)=bcos⁡α+β2a \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=b \cos \frac{\alpha+\beta}{2} বা, sin⁡(α+β2)cos⁡(α+β2)=ba\frac{\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{b}{a} বা, tan⁡α+β2=ba\tan \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{b}{a} বামপক্ষ =sin⁡(α+β)=sin⁡2⋅α+β2=\sin (\alpha+\beta)=\sin 2 \cdot \frac{\alpha+\beta}{2} =2tan⁡α+β21+tan⁡2(α+β2)=2ba1+(ba)2=2baa2+b2a2=\frac{2 \tan \frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{2 \frac{b}{a}}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{\frac{2 b}{a}}{\frac{a^2+b^2}{a^2}} =2 ba×a2a2+b2=2aba2+b2==\frac{2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}} \times \frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}=\frac{2 \mathrm{ab}}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}= ডানপক্ষ ∴sin⁡(α+β)=2aba2+b2\therefore \quad \sin (\alpha+\beta)=\frac{2 a b}{a^2+b^2} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন