Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাধান কর : [গণিত] , যখন [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] , যখন [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] , যেখানে [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] , যেখানে [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমাধান কর : , যখন .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}.

Jessore · 2025

উত্তর

ধরি, cos⁡−1x=θ\cos^{-1} x=\theta ∴cos⁡θ=x\therefore \quad \cos \theta=\mathrm{x} আমরা জানি, cos⁡θ=2cos⁡2θ2−1\cos \theta=2 \cos^2 \frac{\theta}{2}-1 বা, 2cos⁡2θ2=cos⁡θ+12 \cos^2 \frac{\theta}{2}=\cos \theta+1 বা, cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\cos^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2} বা, cos⁡θ2=1+cos⁡θ2\cos \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} বা, θ2=cos⁡−11+cos⁡θ2\frac{\theta}{2}=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} বা, cos⁡−1x2=cos⁡−11+x2\frac{\cos^{-1} x}{2}=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} ∴12cos⁡−1x=cos⁡−11+x2\therefore \quad \frac{1}{2} \cos^{-1} x=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta ∴P=f(π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\therefore \quad P=f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta এবং Q=f(2θ)=cos⁡2θQ=f(2 \theta)=\cos 2 \theta বামপক্ষ =sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=\sin^{-1}(\sqrt{2} \mathrm{P})+\sin^{-1} \sqrt{\mathrm{Q}} =sin⁡−1(2sin⁡θ)+sin⁡−1(cos⁡2θ)=sin⁡−1{2sin⁡θ1−cos⁡2θ+cos⁡2θ⋅1−2sin⁡2θ}[∵sin⁡−1x+sin⁡−1y=sin⁡−1{x1−y2+y1−x2}]=sin⁡−1(2sin⁡θ2sin⁡2θ+cos⁡2θ⋅cos⁡2θ)=sin⁡−1(2sin⁡θ⋅2sin⁡θ+cos⁡2θ⋅cos⁡2θ)=sin⁡−1(2sin⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡−1(1−cos⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡−11=sin⁡−1sin⁡π2\begin{aligned} & =\sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-\cos 2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{1-2 \sin^2 \theta}\right\} \\ & \quad\left[\because \sin^{-1} x+\sin^{-1} y=\sin^{-1}\left\{x \sqrt{1-y^2}+y \sqrt{1-x^2}\right\}\right] \\ & =\sin^{-1}\left(\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{2 \sin^2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{\cos 2 \theta}\right) \\ & =\sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2} \sin \theta+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}\left(2 \sin^2 \theta+\cos 2 \theta\right) \\ & =\sin^{-1}(1-\cos 2 \theta+\cos 2 \theta) \\ & =\sin^{-1} 1=\sin^{-1} \sin \frac{\pi}{2}\end{aligned} =π2==\frac{\pi}{2}= ডানপক্ষ ∴sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=π2\therefore \quad \sin^{-1}(\sqrt{2} \mathrm{P})+\sin^{-1} \sqrt{\mathrm{Q}}=\frac{\pi}{2} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta এখন, 4f(θ)f(2θ)f(3θ)=14 f(\theta) f(2 \theta) f(3 \theta)=1, যখন 0∘<θ<π0^{\circ}<\theta<\pi বা. 4cos⁡θcos⁡2θcos⁡3θ=14 \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta=1 বা, (2cos⁡θcos⁡3θ)(2cos⁡2θ)=1(2 \cos \theta \cos 3 \theta)(2 \cos 2 \theta)=1 বা, (cos⁡4θ+cos⁡2θ)(2cos⁡2θ)=1(\cos 4 \theta+\cos 2 \theta)(2 \cos 2 \theta)=1 বা, 2cos⁡4θcos⁡2θ+2cos⁡22θ−1=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+2 \cos^2 2 \theta-1=0 বা. 2cos⁡4θcos⁡2θ+cos⁡4θ=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+\cos 4 \theta=0 বা, cos⁡4θ(2cos⁡2θ+1)=0\cos 4 \theta(2 \cos 2 \theta+1)=0 হয়, cos⁡4θ=0\cos 4 \theta=0 বা, 4θ=(2n+1)π24 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} ∴θ=(2n+1)π8\therefore \quad \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8} অথবা, 2cos⁡2θ+1=02 \cos 2 \theta+1=0 বা, 2cos⁡2θ=−12 \cos 2 \theta=-1 বা, cos⁡2θ=−12=cos⁡2π3\cos 2 \theta=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} বা, 2θ=2nπ±2π32 \theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} ∴θ=nπ±π3\therefore \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3} n=0n = 0 হলে, θ=π8,π3,−π3\theta=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{-\pi}{3} n=1n = 1হলে, θ=3π8,4π3,2π3\theta=\frac{3 \pi}{8}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3} n=−1n = -1হলে, θ=−π8,−2π3,−4π3\theta=-\frac{\pi}{8},-\frac{2 \pi}{3},-\frac{4 \pi}{3} n=2n = 2 হলে, θ=5π8,7π3,5π3\theta=\frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} n=3n = 3 হলে, θ=7π8,10π3,8π3\theta=\frac{7 \pi}{8}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3} n=4n = 4 হলে, θ=9π8,13π3,11π3\theta=\frac{9 \pi}{8}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3} 0<θ<π0<\theta<\pi ব্যবধিতে x=π8,π3,3π8,5π8,2π3,7π8x=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8} নির্ণেয় সমাধান : θ=π8,π3,3π8,5π8,2π3,7π8\theta=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন