Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাধান কর : [গণিত] ; যখন [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [2 দ্বারা ভাগ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] যেখানে, [গণিত] পূর্ণসংখ্যা [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ; যেখানে, [গণিত] পূর্ণসংখ্যা বা, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমাধান কর : ; যখন .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : f(x)=1−sin⁡2xf(x)=\sqrt{1-\sin^2 x}

Sylhet · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =sec⁡−1tan⁡{sin⁡(cos⁡−1x)}=\sec^{-1} \tan \left\{\sin \left(\cos^{-1} \mathrm{x}\right)\right\} =sec⁡−1tan⁡{sin⁡sin⁡−11−x21}=sec⁡−1tan⁡(1−x2)\begin{aligned} & =\sec^{-1} \tan \left\{\sin \sin^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}\right\} \\ & =\sec^{-1} \tan \left(\sqrt{1-x^2}\right)\end{aligned} question image এখানে, sec⁡−1tan⁡(1−x2)\sec^{-1} \tan \left(\sqrt{1-x^2}\right) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ∣tan⁡(1−x2)∣≥1\left|\tan \left(\sqrt{1-x^2}\right)\right| \geq 1 হয়। নির্ণেয় মান : sec⁡−1tan⁡(1−x2)\sec^{-1} \tan \left(\sqrt{1-x^2}\right).

উত্তর

Note : প্রশ্নে {f(xa)}−1+{f(yb)}−1=0\left\{f\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right\}^{-1}+\left\{f\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)\right\}^{-1}=0 পরিবর্তে {f(xa)}−1+{f(yb)}−1=θ\left\{f\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right\}^{-1} +\left\{f\left(\frac{y}{b}\right)\right\}^{-1}=\theta হবে। দেওয়া আছে, f(x)=1−sin⁡2x=cos⁡2x=cos⁡xf(x)=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=\cos x এখন, {f(xa)}−1+{f(yb)}−1=θ\left\{f\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right\}^{-1}+\left\{f\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)\right\}^{-1}=\theta বা. (cos⁡xa)−1+(cos⁡yb)−1=θ\left(\cos \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)^{-1}+\left(\cos \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)^{-1}=\theta বা, cos⁡−1xa+cos⁡−1yb=θ\cos^{-1} \frac{x}{a}+\cos^{-1} \frac{y}{b}=\theta বা, cos⁡−1yb=θ−cos⁡−1xa\cos^{-1} \frac{y}{b}=\theta-\cos^{-1} \frac{x}{a} বা, yb=cos⁡(θ−cos⁡−1xa)\frac{y}{b}=\cos \left(\theta-\cos^{-1} \frac{x}{a}\right) =cos⁡θcos⁡(cos⁡−1xa)+sin⁡θsin⁡(cos⁡−1xa)=(cos⁡θ)(xa)+sin⁡θ1−cos⁡2(cos⁡−1xa)=xacos⁡θ+sin⁡θ1−x2a2\begin{aligned} & =\cos \theta \cos \left(\cos^{-1} \frac{x}{a}\right)+\sin \theta \sin \left(\cos^{-1} \frac{x}{a}\right) \\ & =(\cos \theta)\left(\frac{x}{a}\right)+\sin \theta \sqrt{1-\cos^2\left(\cos^{-1} \frac{x}{a}\right)} \\ & =\frac{x}{a} \cos \theta+\sin \theta \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\end{aligned} বা, yb−xacos⁡θ=sin⁡θ1−x2a2\frac{y}{b}-\frac{x}{a} \cos \theta=\sin \theta \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} বা, (yb−xacos⁡θ)2=sin⁡2θ(1−x2a2)\left(\frac{y}{b}-\frac{x}{a} \cos \theta\right)^2=\sin^2 \theta\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right) [বর্গ করে] বা, y2b2+x2a2cos⁡2θ−2xyabcos⁡θ=sin⁡2θ−x2a2sin⁡2θ\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2} \cos^2 \theta-2 \frac{x y}{a b} \cos \theta=\sin^2 \theta-\frac{x^2}{a^2} \sin^2 \theta বা, y2b2+x2a2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)−2xyabcos⁡θ=sin⁡2θ\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta=\sin^2 \theta বা, x2a2−2xyabcos⁡θ+y2b2=sin⁡2θ\frac{x^2}{a^2}-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2 \theta বা, a2b2x2a2−2a2b2xyabcos⁡θ+a2b2y2b2=a2b2sin⁡2θ\frac{a^2 b^2 x^2}{a^2}-\frac{2 a^2 b^2 x y}{a b} \cos \theta+\frac{a^2 b^2 y^2}{b^2}=a^2 b^2 \sin^2 \theta [উভয়পক্ষকে a2 b2\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}^2 দ্বারা গুণ করে] ∴b2x2−2abxycos⁡θ+a2y2=a2b2sin⁡2θ\therefore \quad b^2 x^2-2 a b x y \cos \theta+a^2 y^2=a^2 b^2 \sin^2 \theta. (দেখানো হলো )

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1−sin⁡2x=cos⁡2x=cos⁡xf(x)=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=\cos x এখন, f(x)+f(π2−x)=f(2x)+f(π2−2x)f(\mathbf{x})+f\left(\frac{\pi}{2}-\mathbf{x}\right)=f(2 \mathbf{x})+f\left(\frac{\pi}{2}-2 \mathbf{x}\right) বা, cos⁡x+cos⁡(π2−x)=cos⁡2x+cos⁡(π2−2x)\cos x+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos 2 x+\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) বা, cos⁡x+sin⁡x=cos⁡2x+sin⁡2x\cos x+\sin x=\cos 2 x+\sin 2 x বা, cos⁡x−cos⁡2x=sin⁡2x−sin⁡x\cos x-\cos 2 x=\sin 2 x-\sin x বা, 2sin⁡2x+x2sin⁡2x−x2=2cos⁡2x+x2sin⁡2x−x22 \sin \frac{2 x+x}{2} \sin \frac{2 x-x}{2}=2 \cos \frac{2 x+x}{2} \sin \frac{2 x-x}{2} বা, sin⁡3x2sin⁡x2=cos⁡3x2sin⁡x2\sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=\cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2} [2 দ্বারা ভাগ করে] বা, sin⁡3x2sin⁡x2−cos⁡3x2sin⁡x2=0\sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=0 বা, sin⁡x2(sin⁡3x2−cos⁡3x2)=0\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{3 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}\right)=0 হয়, sin⁡x2=0\sin \frac{x}{2}=0 বা, x2=nπ\frac{x}{2}=n \pi যেখানে, nn পূর্ণসংখ্যা ∴x=2nπ\therefore x=2 n \pi অথবা, sin⁡3x2−cos⁡3x2=0\sin \frac{3 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}=0 বা, sin⁡3x2=cos⁡3x2\sin \frac{3 x}{2}=\cos \frac{3 x}{2} বা, sin⁡3x2cos⁡3x2=1\frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\cos \frac{3 x}{2}}=1 বা, tan⁡3x2=tan⁡π4\tan \frac{3 x}{2}=\tan \frac{\pi}{4} বা, 3x2=nπ+π4\frac{3 x}{2}=n \pi+\frac{\pi}{4}; যেখানে, nn পূর্ণসংখ্যা বা, x=2nπ3+2π12x=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{2 \pi}{12} =2nπ3+π6=(4n+1)π6=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=(4 n+1) \frac{\pi}{6} n=0n = 0হলে, x=0,π6x=0, \frac{\pi}{6} n=1n = 1হলে, x=2π,5π6x=2 \pi, \frac{5 \pi}{6} n=−1n = - 1হলে, x=−2π,−π2x=-2 \pi,-\frac{\pi}{2} n=2n = 2হলে, x=4π,3π2x=4 \pi, \frac{3 \pi}{2} 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi ব্যবধিতে, x=0,π6,5π6\mathrm{x}=0, \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন