Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে [গণিত] সীমার মধ্যে [গণিত] এর মানগুলো বের কর।

উত্তর: 'খ' হতে প্রাপ্ত, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে [গণিত] বা, 2 দ্বারা ভাগ করে পাই] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ; যেখানে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] যেখানে [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে, [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে সীমার মধ্যে এর মানগুলো বের কর।

উদ্দীপক

উদ্দীপক : question image

Chittagong · 2025

উত্তর

question image প্রদত্ত রাশি =sin⁡−1117+cos⁡−1526=\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{17}}+\cos^{-1} \frac{5}{\sqrt{26}} =tan⁡−114+tan⁡−115=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{5} =tan⁡−114+151−14⋅15=tan⁡−15+42020−120=tan⁡−1(920×2019)=tan⁡−1(919)\begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{5+4}{20}}{\frac{20-1}{20}} \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{9}{20} \times \frac{20}{19}\right) \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{9}{19}\right)\end{aligned} =25.35∘=25.35^{\circ} (প্রায়) নির্ণেয় মান : 25.35∘25.35^{\circ} (প্রায়)।

উত্তর

question image ABC সমকোণী ত্রিভুজে, AC=AB2−BC2=12−cos⁡2θ=1−cos⁡2θ=sin⁡2θ=sin⁡θ\begin{aligned} A C & =\sqrt{A B^2-B C^2} \\ & =\sqrt{1^2-\cos^2 \theta} \\ & =\sqrt{1-\cos^2 \theta} \\ & =\sqrt{\sin^2 \theta}=\sin \theta\end{aligned} এখন, sin⁡(π.BC)=cos⁡(π.AC)\sin (\pi . \mathrm{BC})=\cos (\pi . \mathrm{AC}) বা, sin⁡(πcos⁡θ)=cos⁡(πsin⁡θ)\sin (\pi \cos \theta)=\cos (\pi \sin \theta) বা, cos⁡(πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\cos (\pi \sin \theta)=\sin (\pi \cos \theta) বা, sin⁡(π2±πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\sin \left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta\right)=\sin (\pi \cos \theta) বা, π2±πsin⁡θ=πcos⁡θ\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta=\pi \cos \theta বা, 12±sin⁡θ=cos⁡θ\frac{1}{2} \pm \sin \theta=\cos \theta বা, cos⁡θ±sin⁡θ=12\cos \theta \pm \sin \theta=\frac{1}{2} বা, 12cos⁡θ±12sin⁡θ=122[12+12=2\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \quad\left[\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\right. দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡π4cos⁡θ±sin⁡π4sin⁡θ=122\cos \frac{\pi}{4} \cos \theta \pm \sin \frac{\pi}{4} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡(θ±π4)=122\cos \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡2(θ±π4)=18\cos^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{8} [বর্গ করে] বা, 1−sin⁡2(θ±π4)=181-\sin^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{8} বা, sin⁡2(θ±π4)=1−18=8−18\sin^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=1-\frac{1}{8}=\frac{8-1}{8} বা, sin⁡2(θ±π4)=78\sin^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{8} বা, sin⁡(θ±π4)=78=722\sin \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} ना, θ±π4=sin⁡−1(722)\theta \pm \frac{\pi}{4}=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}\right) বা, θ±π4=cosec⁡⁡−1227\theta \pm \frac{\pi}{4}=\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}} ∴θ=±π4+cosec⁡⁡−1227\therefore \quad \theta= \pm \frac{\pi}{4}+\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}} (দেখানো হলো)

উত্তর

'খ' হতে প্রাপ্ত, AC=sin⁡θ\mathrm{AC}=\sin \theta এখন, 3BC−AC=1\sqrt{3} \mathrm{BC}-\mathrm{AC}=1 বা, 3cos⁡θ−sin⁡θ=1\sqrt{3} \cos \theta-\sin \theta=1 বা, 32cos⁡θ−12sin⁡θ=12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে (3)2+1\sqrt{(\sqrt{3})^2+1} বা, 2 দ্বারা ভাগ করে পাই] বা, cos⁡π6cos⁡θ−sin⁡π6sin⁡θ=12\cos \frac{\pi}{6} \cos \theta-\sin \frac{\pi}{6} \sin \theta=\frac{1}{2} বা, cos⁡(π6+θ)=cos⁡π3\cos \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)=\cos \frac{\pi}{3} [∵cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)][\because \cos A \cos B-\sin A \sin B=\cos (A+B)] বা, π6+θ=2nπ±π3\frac{\pi}{6}+\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, θ=2nπ±π3−π6\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} বা, θ=2nπ+π6,2nπ−π2\theta=2 n \pi+\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{2} ∴θ=(12n+1)π6,(4n−1)π2;\therefore \quad \theta=(12 n+1) \frac{\pi}{6},(4 n-1) \frac{\pi}{2} ; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} n=0\mathrm{n}=0 হলে, θ=π6,−π2\theta=\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{2} n=1\mathrm{n}=1 হলে, θ=13π6,3π2\theta=\frac{13 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, θ=−11π6,−5π2\theta=\frac{-11 \pi}{6}, \frac{-5 \pi}{2} n=2\mathrm{n}=2 হলে, θ=25π6,7π2\theta=\frac{25 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2} n=−2\mathrm{n}=-2 হলে, θ=−23π6,−9π2\theta=\frac{-23 \pi}{6}, \frac{-9 \pi}{2} −2π<θ<2π-2 \pi<\theta<2 \pi ব্যবধিতে, θ=−11π6,−π2,π6,3π2\theta=-\frac{11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2} নির্ণেয় সমাধান : θ=−11π6,−π2,π6,3π2\theta=-\frac{11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন