Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক (ii) হতে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক (ii) হতে পাই, [গণিত] দ্বারা ভাগ] [গণিত] (দেখানো হল)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক (ii) হতে দেখাও যে,

উদ্দীপক

(i) question image ii) sin⁡⁡−1(πsin⁡x)−cos⁡−1(πcos⁡x)=0\operatorname{\sin}^{-1}(\pi \sin x)-\cos^{-1}(\pi \cos x)=0

উত্তর

L.H.S=cos⁡−12/3−cos⁡−16+123L.H.S =\cos^{-1} \sqrt{2 / 3}-\cos^{-1} \frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}} =cos⁡1{2/3⋅6+123+{1−(2/3)2}{1−(6+123)2}=\cos 1\left\{\sqrt{2 / 3} \cdot \frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}+\sqrt{\left\{1-(\sqrt{2 / 3})^{2}\right\}\left\{1-\left(\frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}\right)^{2}\right.}\right\} =cos⁡{6+132+(1−23)(1−7+2612}=\cos \left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\sqrt{\left(1-\frac{2}{3}\right)\left(1-\frac{7+2 \sqrt{6}}{12}\right.}\right\} =cos⁡−1{6+132+13×56−2612}=\cos^{-1}\left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{56-2 \sqrt{6}}{12}}\right\} =cos⁡{6+132+(23)236}=\cos \left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{36}}\right\} =cos⁡−1{6+132+3−26}=\cos^{-1}\left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6}\right\} =cos⁡−1{26+2+6=262}=\cos^{-1}\left\{\frac{2 \sqrt{6}+2+\sqrt{6}=2}{6 \sqrt{2}}\right\} = cos⁡−1{3662}\cos^{-1}\left\{\frac{3 \sqrt{6}}{6 \sqrt{2}}\right\} =cos⁡−1(3/2)=\cos^{-1}(\sqrt{3} / 2) =π6=\frac{\pi}{6} ∴L.H⋅S= R.H.S \therefore L . H \cdot S =\text{ R.H.S }

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, question image ∴sin⁡θ=1213x=cos⁡θ=513\therefore \sin \theta=\frac{12}{13} \quad x=\cos \theta=\frac{5}{13} ∴tan⁡θ/2=sin⁡θ/2cos⁡θ/2=2sin⁡θ/2cos⁡θ/22cos⁡2θ/2\therefore \tan \theta / 2=\frac{\sin \theta / 2}{\cos \theta / 2}= \frac{2 \sin \theta / 2 \cos \theta / 2}{2 \cos^2 \theta / 2} ⇒tan⁡θ/2=sin⁡θ1+cos⁡θ\Rightarrow \tan \theta / 2 =\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} 2sin⁡θ/2cos⁡θ/22 \sin \theta / 2 \cos \theta / 2 2cos⁡2θ/22 \cos^{2} \theta / 2 ⇒tan⁡θ/2=12/131+5/13\Rightarrow \tan \theta / 2=\frac{12 / 13}{1+5 / 13} ⇒tan⁡θ/2=123×1318\Rightarrow \tan \theta / 2=\frac{12}{3} \times \frac{13}{18} ⇒tan⁡θ/2=23\Rightarrow \tan \theta / 2=\frac{2}{3} ⇒θ/2=tan⁡−123\Rightarrow \theta / 2=\tan^{-1} \frac{2}{3} ∴θ=2tan⁡−123\therefore \theta=2 \tan^{-1} \frac{2}{3} আবার, ধরি, question image cosec⁡⁡−153=φ\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{5}{3}=\varphi cosec⁡⁡φ=53\operatorname{\cosec} \varphi=\frac{5}{3} 544π3\frac{54}{4} \pi^{3} ∴tan⁡φ=34\therefore \tan \varphi=\frac{3}{4} ⇒φ=tan⁡−134\Rightarrow \varphi=\tan^{-1} \frac{3}{4} ∴cosec⁡⁡−153=tan⁡−134\therefore \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{5}{3}=\tan^{-1} \frac{3}{4} ∴ L.H.S =2cosec⁡⁡−1B3+θ−2cot⁡−12828\therefore \text{ L.H.S }=2 \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{B}{3}+\theta-2 \cot^{-1} \frac{28}{28} =2tan⁡−134+2tan⁡−123−2cot⁡−12928=2 \tan^{-1} \frac{3}{4}+2 \tan^{-1} \frac{2}{3}-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2(tan⁡−134+tan⁡−123)−2cot⁡−12928=2\left(\tan^{-1} \frac{3}{4}+\tan^{-1} \frac{2}{3}\right)-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2tan⁡−1(39+231−34⋅2/3)−2cot⁡−12928=2 \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{9}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4} \cdot 2 / 3}\right)-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2tan⁡−1(9+8121−1/2)−2cot⁡−12928=2 \tan^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1-1 / 2}\right)-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2tan⁡−1176−2tan⁡−12829=2 \tan^{-1} \frac{17}{6}-2 \tan^{-1} \frac{28}{29} =2(tan⁡−1176−tan⁡−12829)=2\left(\tan^{-1} \frac{17}{6}-\tan^{-1} \frac{28}{29}\right) =2tan⁡−1(176−28291+176⋅2829)=2 \tan^{-1}\left(\frac{\frac{17}{6}-\frac{28}{29}}{1+\frac{17}{6} \cdot \frac{28}{29}}\right) =2tan⁡−1(493−168174174+476).=2 \tan^{-1}\left(\frac{493-168}{\frac{174}{174+476}}\right) . =2tan⁡−1(325656)=2 \tan^{-1}\left(\frac{325}{656}\right) =2tan⁡−1(12)=2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) ∴ L.H.S = R.H.S.\therefore \text{ L.H.S } =\text{ R.H.S.} (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক (ii) হতে পাই, sin⁡−1(πsin⁡x)−cos⁡−1(πcos⁡x)=0\sin^{-1}(\pi \sin x)-\cos^{-1}(\pi \cos x)=0 ⇒sin⁡−1(πsin⁡x)=cos⁡−1(πcos⁡x)\Rightarrow \sin^{-1}(\pi \sin x)=\cos^{-1}(\pi \cos x) ⇒cos⁡(πsin⁡x)=sin⁡(πcos⁡x)\Rightarrow \cos (\pi \sin x)=\sin (\pi \cos x) ⇒sin⁡(π/2±πsin⁡x)=sin⁡(πcos⁡x)\Rightarrow \sin (\pi / 2 \pm \pi \sin x)=\sin (\pi \cos x) ⇒π/2±πsin⁡x=πcos⁡x\Rightarrow \pi / 2 \pm \pi \sin x=\pi \cos x ⇒12±sin⁡x=cos⁡x\Rightarrow \frac{1}{2} \pm \sin x=\cos x ⇒cos⁡x±sin⁡x=12\Rightarrow \cos x \pm \sin x=\frac{1}{2} ⇒12cos⁡x±12sin⁡x=2122[2\Rightarrow \frac{1}{2} \cos x \pm \frac{1}{2} \sin x=\sqrt{2} \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} দ্বারা ভাগ] ⇒cos⁡xcos⁡π/4±sin⁡xsin⁡π/4=122\Rightarrow \cos x \cos \pi / 4 \pm \sin x \sin \pi / 4=\frac{1}{2 \sqrt{2}} ⇒cos⁡(x±x/4)=122\Rightarrow \cos (x \pm x / 4)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} ⇒sec⁡(x±x4)=22\Rightarrow \sec \left(x \pm \frac{x}{4}\right)=2 \sqrt{2} ⇒x±x4=sec⁡−1(22)\Rightarrow x \pm \frac{x}{4}=\sec^{-1}(2 \sqrt{2}) ⇒x=±x/4+sec⁡−1(22)\Rightarrow x= \pm x / 4+\sec^{-1}(2 \sqrt{2}) (দেখানো হল)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন