Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক (ii) অনুসারে সমাধান কর : [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক (ii) অনুসারে পাই, [গণিত] এবং, [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] = [গণিত] হয়, [গণিত] আবার, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] নির্ণেয় সমাধান: [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক (ii) অনুসারে সমাধান কর :

উদ্দীপক

(i) question image ii) g(x)=2tan⁡x21+tan⁡2x2,f(x)=1−cos⁡2x21+cos⁡2x2g(x)=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}, f(x)=\frac{1-\cos^2 \frac{x}{2}}{1+\cos^2 \frac{x}{2}}

উত্তর

L.H.S =cot⁡−116+cot⁡−157=\cot^{-1} \frac{1}{6}+\cot^{-1} \frac{5}{7} =cotan⁡−16+tan⁡−175=\operatorname{cotan}^{-1} 6+\tan^{-1} \frac{7}{5} =tan⁡−1(6+7/51−6⋅7/5)=\tan^{-1}\left(\frac{6+7 / 5}{1-6 \cdot 7 / 5}\right) =tan⁡−1(30+75−42)=\tan^{-1}\left(\frac{30+7}{5-42}\right) =tan⁡−1(37−37)=\tan^{-1}\left(\frac{37}{-37}\right) =tan⁡−1(−1)=\tan^{-1}(-1) =3π/4 R.H.S =3 \pi / 4 \text{ R.H.S } (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক (i) হতে পাই, question image △ABC\triangle A B C হতে পাই, এবং △DEF\triangle D E F হতে পাই, cos⁡α=xacos⁡β=yb\cos \alpha=\frac{x}{a} \cos \beta=\frac{y}{b} ∴α=cos⁡−1(xa)∴β=cos⁡−1(yb)\therefore \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \therefore \beta=\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) দেওয়া আছে, α+β=θ\alpha+\beta=\theta ⇒cos⁡−1(xa)+cos⁡−1(yb)=0\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=0 ⇒cos⁡−1{xa⋅yb−{x1−(xa)2}{1−(yb)2}=θ\Rightarrow \cos^{-1}\left\{\frac{x}{a} \cdot \frac{y}{b}-\sqrt{\left\{\frac{x}{\left.1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left(\frac{y}{b}\right)^{2}\right.}\right\}}=\theta\right. ⇒xyab−(1−x2a2)(1−y2b2)=cos⁡θ\Rightarrow \frac{x y}{a b}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)}=\cos \theta ⇒xyab−cos⁡θ=(1−x2a2)(1−y2b2)\Rightarrow \frac{x y}{a b}-\cos \theta=\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)} ⇒(xyab−cos⁡θ)2={(1−x2a2)(1−y2b2)}2\Rightarrow\left(\frac{x y}{a b}-\cos \theta\right)^{2}=\left\{\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)}\right\}^{2} [বর্গ করে] ⇒x2y2a2b2−2xycos⁡θab+cos⁡2θ=1−x2y2a2b2−x2a2−y2b2\Rightarrow \frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+\cos^{2} \theta =1-\frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} ⇒−2xycos⁡θab+cos⁡2θ−1=−x2a2−y2b2\Rightarrow-\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+\cos^{2} \theta-1=-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} ⇒−(2xycos⁡θab+1−cos⁡2θ)=−(x2a2+y2b2)\Rightarrow-\left(\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+1-\cos^{2} \theta\right)=-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) ∴sin⁡2θ+2xycos⁡θab=x2a2+y2b2\therefore \sin^{2} \theta+\frac{2 x y \cos \theta}{a b}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক (ii) অনুসারে পাই, g(x)=2tan⁡x/21+tan⁡2x/2g(x)=\frac{2 \tan x / 2}{1+\tan^2 x / 2} ∴g(x)=sin⁡x\therefore g(x)=\sin x এবং, f(x)=1−tan⁡2x21+tan⁡2x/2f(x)=\frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 x / 2} ∴f(x)=cos⁡x\therefore f(x)=\cos x 4g(π/2−θ)f(2θ)+f(3θ)−1=04 g(\pi / 2-\theta) f(2 \theta)+f(3 \theta)-1=0 ⇒4sin⁡(π/2−θ)cos⁡2θcos⁡3θθ−1=0\Rightarrow 4 \sin (\pi / 2-\theta) \cos 2 \theta \cos 3 \theta \theta-1=0 ⇒4cos⁡θcos⁡2θcos⁡3θ−1=0\Rightarrow 4 \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta-1=0 = 2cos⁡2θ(2cos⁡3θcos⁡θ)θ−1=02 \cos 2 \theta(2 \cos 3 \theta \cos \theta) \theta-1=0 = 2cos⁡2θ(cos⁡4θ+cos⁡2θ)−1=02 \cos 2 \theta(\cos 4 \theta+\cos 2 \theta)-1=0 = 2cos⁡4θcos⁡2θ+2cos⁡22θ−1=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+2 \cos^{2} 2 \theta-1=0 = 2cos⁡4θcos⁡2θ+cos⁡4θ=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+\cos 4 \theta=0 ⇒cos⁡4θ(2cos⁡2θ+1)=0\Rightarrow \cos 4 \theta(2 \cos 2 \theta+1)=0 হয়, cos⁡4θ=0\cos 4 \theta=0 ⇒uθ=(2n+1)π/2,n∈Z\Rightarrow u \theta=(2 n+1) \pi / 2, n \in \mathbb{Z} ∴θ=(2n+1)π8,n∈Z\therefore \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8}, n \in \mathbb{Z} আবার, 2cos⁡2θ+1=02 \cos 2 \theta+1=0 ⇒cos⁡2θ=−1/2\Rightarrow \cos 2 \theta=-1 / 2 ⇒cos⁡2θ=cos⁡2π3\Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{2 \pi}{3} ⇒2θ=2nπ±2π3.\Rightarrow 2 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} . ∴θ=nπ±π3;n∈Z\therefore \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3} ; n \in \mathbb{Z} ∴n=0\therefore n=0 হলে, θ=π/8,−π/3,π/3\quad \theta=\pi / 8,-\pi / 3, \pi / 3 n=−1n=-1 হলে, θ=−π/8,−2π3\quad \theta=-\pi / 8,-\frac{2 \pi}{3} n=−2n=-2 হলে, θ=−3π/8\quad \theta=-3 \pi / 8 n=−3n=-3 হলে, θ=−5x/8\quad \theta=-5 x / 8 n=−4n=-4 হলে, θ=−7π/8\quad \theta=-7 \pi / 8 n=1n=1 হলে, θ=3π8,2π3\quad \theta=\frac{3 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3} n=2n=2 হলে, θ=5π8\quad \theta=\frac{5 \pi}{8} n=3n=3 হলে, θ=7π8\quad \theta=\frac{7 \pi}{8} ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান: −7π8,−5π8,−3π8,−π3,−π8−2π/3,π8,π/3,3π8,5π8,2π3,7π8-\frac{7 \pi}{8}, \frac{-5 \pi}{8},-\frac{3 \pi}{8},-\frac{\pi}{3},\frac{-\pi}{8}-2 \pi / 3, \frac{\pi}{8}, \pi / 3, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন