Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: 2sin⁡2θ−2=cos⁡2θ2 \sin^{2} \theta-2=\cos 2 \theta. দৃশ্যকল্প-২ : f(y)=tan⁡−1y\mathrm{f}(\mathrm{y})=\tan^{-1} \mathrm{y}.

Dinajpur · 2022

উত্তর

cos⁡−1(−12)=cos⁡−1(−cos⁡π3)=cos⁡−1{cos⁡(π−π3)}=cos⁡−1cos⁡2π3=2π3\begin{aligned}\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) & =\cos^{-1}\left(-\cos \frac{\pi}{3}\right) \\& =\cos^{-1}\left\{\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right\} \\& =\cos^{-1} \cos \frac{2 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}\end{aligned} ∴cos⁡−1(−12)\therefore \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) এর মুখ্যমান হনো : 2π3\frac{2 \pi}{3}.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ, 2sin⁡2θ−2=cos⁡2θ2 \sin^{2} \theta-2=\cos 2 \theta বা, 1−cos⁡2θ−2=cos⁡2θ1-\cos 2 \theta-2=\cos 2 \theta বা, 1−cos⁡2θ−2−cos⁡2θ=01-\cos 2 \theta-2-\cos 2 \theta=0 বা, −1−2cos⁡2θ=0-1-2 \cos 2 \theta=0 বা, 2cos⁡2θ=−12 \cos 2 \theta=-1 বা, cos⁡2θ=−12\cos 2 \theta=-\frac{1}{2} বা, cos⁡2θ=cos⁡2π3\cos 2 \theta=\cos \frac{2 \pi}{3} বা, 2θ=2nπ±2π32 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} ∴θ=nπ±π3\therefore \theta=\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3} এখন, n=0\mathrm{n}=0 হলে, θ=π3,−π3\theta=\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} n=1\mathrm{n}=1 \quad হলে, θ=4π3,2π3\theta=\frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, θ=−2π3,−4π3\theta=\frac{-2 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3} n=2\mathrm{n}=2 হলে, θ=7π3,5π3\theta=\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} n=−2\mathrm{n}=-2 হলে, θ=−5π3,−7π3\theta=\frac{-5 \pi}{3}, \frac{-7 \pi}{3} ∴−2π≤θ≤2π\therefore-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi ব্যবধিতে θ\theta এর গ্রহণযোগ্য মানসমূহ : −5π3,−4π3,−2π3,−π3,π3,2π3,4π3,5π3\frac{-5 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3}, \frac{-2 \pi}{3}, \frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} নির্ণেয় সমাধান : −5π3,−4π3,−2π3,−π3,π3,2π3,4π3,5π3\frac{-5 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3}, \frac{-2 \pi}{3}, \frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, f(y)=tan⁡−1y∴f(x)=tan⁡−1x,f(x3)=tan⁡−1x3\begin{aligned} \mathrm{f}(\mathrm{y}) & =\tan^{-1} \mathrm{y} \\ \therefore \quad \mathrm{f}(\mathrm{x}) & =\tan^{-1} \mathrm{x}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)=\tan^{-1} \mathrm{x}^{3}\end{aligned} বামপক্ষ =tan⁡{2f(x)}=\tan \{2 \mathrm{f}(\mathrm{x})\} =tan⁡{2tan⁡−1x}=tan⁡(tan⁡−12x1−x2)=2x1−x2=\tan \left\{2 \tan^{-1} \mathrm{x}\right\}=\tan \left(\tan^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}}\right)=\frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}} ডানপক্ষ =2tan⁡{f(x)+f(x3)}=2 \tan \left\{\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)\right\} =2tan⁡(tan⁡−1x+tan⁡−1x3)=2 \tan \left(\tan^{-1} \mathrm{x}+\tan^{-1} \mathrm{x}^{3}\right) =2tan⁡{tan⁡−1(x+x31−x⋅x3)}=2 \tan \left\{\tan^{-1}\left(\frac{x+x^{3}}{1-x \cdot x^{3}}\right)\right\} =2(x+x31−x4)=2x(1+x2)(1+x2)(1−x2)=2x1−x2=2\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{x}^{3}}{1-\mathrm{x}^{4}}\right)=\frac{2 \mathrm{x}\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)\left(1-\mathrm{x}^{2}\right)}=\frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}} ∴\therefore \quad বামপক্ষ == ডানপক্ষ ∴tan⁡{2f(x)}=2tan⁡{f(x)+f(x3)}\therefore \tan \{2 \mathrm{f}(\mathrm{x})\}=2 \tan \left\{\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)\right\} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন