Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: উদ্দীপক-২ হতে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x উদ্দীপক-2: cot⁡−1(1x)+12sec⁡−1(1+y21−y2)+12cosec⁡⁡−1(1+z22z)=π\cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2} \sec^{-1}\left(\frac{1+y^{2}}{1-y^{2}}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{\cosec}^{-1}\left(\frac{1+z^{2}}{2 z}\right)=\pi.

Comilla · 2022

উত্তর

question image question image প্রদত্ত রাশি =cot⁡cos⁡−1sin⁡tan⁡−134=\cot \cos^{-1} \sin \tan^{-1} \frac{3}{4} cot⁡cos⁡−1sin⁡sin⁡−135\cot \cos^{-1} \sin \sin^{-1} \frac{3}{5} [চিত্র-১ হতে] =cot⁡cos⁡−135=\cot \cos^{-1} \frac{3}{5} =cot⁡−1cot⁡−134=\cot^{-1} \cot^{-1} \frac{3}{4} [চিত্র-২ হতে] =34=\frac{3}{4} নির্ণেয় মান : 34\frac{3}{4}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\therefore \mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x} প্রদত্ত সমীকরণ, f(x)+13f(π2−x)=13f(x)+\frac{1}{\sqrt{3}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}} বা, cos⁡x+13cos⁡(π2−x)=13\cos x+\frac{1}{\sqrt{3}} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}} বা, cos⁡x+13sin⁡x=13\cos x+\frac{1}{\sqrt{3}} \sin x=\frac{1}{\sqrt{3}} বা, 3cos⁡x+sin⁡x=1\sqrt{3} \cos x+\sin x=1 বা, 32cos⁡x+12sin⁡x=12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x+\frac{1}{2} \sin x=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে (3)2+12\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}} বা 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡x⋅cos⁡□6+sin⁡x⋅sin⁡π6=12\cos x \cdot \cos \frac{\square}{6}+\sin x \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} বা, cos⁡(x−π6)=cos⁡π3\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{3} বা, x−π6=2nπ±π3,n∈Z\mathrm{x}-\frac{\pi}{6}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} ∴x=2nπ±π3+π6=2nπ+π2,2nπ−π6\therefore x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=2 n \pi+\frac{\pi}{2}, 2 n \pi-\frac{\pi}{6} এখন, n=0\mathrm{n}=0 হলে, x=π2,−π6\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}, \frac{-\pi}{6} n=1\mathrm{n}=1 হলে, x=5π2,11π6\mathrm{x}=\frac{5 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, x=−3π2,−13π6\mathrm{x}=\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-13 \pi}{6} n=2\mathrm{n}=2 হলে, x=9π2,23π6\mathrm{x}=\frac{9 \pi}{2}, \frac{23 \pi}{6} n=−2n=-2 হলে, x=−7π2,−25π6x=-\frac{7 \pi}{2},-\frac{25 \pi}{6} −2π<x<2π-2 \pi<x<2 \pi ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান : x=−3π2,−π6,π2,11π6x=-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}.

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে, cot⁡−1(1x)+12sec⁡−1(1+y21−y2)+12cosec⁡⁡−1(1+z22z)=π\cot^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+\frac{1}{2} \sec^{-1}\left(\frac{1+\mathrm{y}^{2}}{1-\mathrm{y}^{2}}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{\cosec}^{-1}\left(\frac{1+\mathrm{z}^{2}}{2 \mathrm{z}}\right)=\pi বা, tan⁡−1x+12⋅cos⁡−11−y21+y2+12sin⁡−12z1+z2=π\tan^{-1} \mathrm{x}+\frac{1}{2} \cdot \cos^{-1} \frac{1-\mathrm{y}^{2}}{1+\mathrm{y}^{2}}+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 \mathrm{z}}{1+\mathrm{z}^{2}}=\pi বা, tan⁡−1x+12×2tan⁡−1y+12×2tan⁡−1z=π\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} y+\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} z=\pi [∵2tan⁡−1x=tan⁡−12x1−x2=sin⁡−12x1+x2=cos⁡−11−x21+x2]\left[\because 2 \tan^{-1} \mathrm{x}=\tan^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}}=\sin^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^{2}}=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}}\right] বা, tan⁡−1x+tan⁡−1y+tan⁡−1z=π\tan^{-1} x+\tan^{-1} y+\tan^{-1} z=\pi  বা, tan⁡−1x+y1−xy+tan⁡−1z=π বা, tan⁡−1x+y1−xy+z1−x+y1−xy⋅z=π বা, x+y+z−xyz1−xy1−xy−xz−yz1−xy=tan⁡π বা, x+y+z−xyz1−xy−yz−zx=0 বা, x+y+z−xyz=0∴x+y+z=xyz (প্রমাণিত) \begin{aligned}& \text{ বা, } \tan^{-1} \frac{x+y}{1-x y}+\tan^{-1} z=\pi \\& \text{ বা, } \tan^{-1} \frac{\frac{x+y}{1-x y}+z}{1-\frac{x+y}{1-x y} \cdot z}=\pi \\& \text{ বা, } \frac{\frac{x+y+z-x y z}{1-x y}}{\frac{1-x y-x z-y z}{1-x y}}=\tan \pi \\& \text{ বা, } \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}=0 \\& \text{ বা, } x+y+z-x y z=0 \\& \therefore x+y+z=x y z \text{ (প্রমাণিত) }\end{aligned}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন