Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: এখানে, [গণিত] এবং [গণিত] সুতরাং, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x এবং g(y)=cos⁡yg(y)=\cos y

Jessore · 2022

উত্তর

question image চিত্র হতে, cos⁡−1−25=sin⁡−115\cos^{-1} \frac{-2}{\sqrt{5}}=\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} প্রদত্ত রাশি =sin⁡−145+cos⁡−125=\sin^{-1} \frac{4}{5}+\cos^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}} =sin⁡−145+sin⁡−115=\sin^{-1} \frac{4}{5}+\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} =sin⁡−1{45⋅1−(15)2+15⋅1−(45)2}=\sin^{-1}\left\{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}\right\} =sin⁡−1{45⋅1−15+15⋅1−1625}=\sin^{-1}\left\{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{1-\frac{1}{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{1-\frac{16}{25}}\right\} =sin⁡−1{45⋅45+15⋅925}=\sin^{-1}\left\{\frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{4}{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}}\right\} =sin⁡−1{45×25+15×35}=sin⁡−1{8+355}=sin⁡−11155=\sin^{-1}\left\{\frac{4}{5} \times \frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{3}{5}\right\}=\sin^{-1}\left\{\frac{8+3}{5 \sqrt{5}}\right\}=\sin^{-1} \frac{11}{5 \sqrt{5}} ∴sin⁡−145+cos⁡−125=sin⁡−11155\therefore \sin^{-1} \frac{4}{5}+\cos^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}=\sin^{-1} \frac{11}{5 \sqrt{5}}

উত্তর

এখানে, f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} \quad এবং g(y)=cos⁡y\mathrm{g}(\mathrm{y})=\cos \mathrm{y} ∴f(3x)=sin⁡3x∴g(y)=cos⁡x\therefore \mathrm{f}(3 \mathrm{x})=\sin 3 \mathrm{x} \quad \therefore \mathrm{g}(\mathrm{y})=\cos \mathrm{x} এবং f(π2−2x)=sin⁡(π2−2x)f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) এবং g(π2−2x)=cos⁡(π2−2x)g\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) =cos⁡2x=\cos 2 \mathrm{x} \quad =sin⁡2x=\sin 2 \mathrm{x} প্রদত্ত সমীকরণ, f(x)+g(π2−2x)+f(3x)=1+g(x)+f(π2−2x)\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}\left(\frac{\pi}{2}-2 \mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(3 \mathrm{x})=1+\mathrm{g}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-2 \mathrm{x}\right) বা, sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=1+cos⁡x+cos⁡2x\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=1+\cos x+\cos 2 x বা, sin⁡3x+sin⁡x+sin⁡2x=1+cos⁡2x+cos⁡x\sin 3 x+\sin x+\sin 2 x=1+\cos 2 x+\cos x বা, 2⋅sin⁡3x+x2cos⁡3x−x2+sin⁡2x=2cos⁡2x+cos⁡x2 \cdot \sin \frac{3 x+x}{2} \cos \frac{3 x-x}{2}+\sin 2 x=2 \cos^{2} x+\cos x বা, 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=cos⁡x(2cos⁡x+1)2 \sin 2 x \cos x+\sin 2 x=\cos x(2 \cos x+1) বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)=cos⁡x(2cos⁡x+1)\sin 2 x(2 \cos x+1)=\cos x(2 \cos x+1) বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)−cos⁡x(2cos⁡x+1)\sin 2 x(2 \cos x+1)-\cos x(2 \cos x+1) বা, (2cos⁡x+1)(sin⁡2x−cos⁡x)=0(2 \cos x+1)(\sin 2 x-\cos x)=0 হয়, 2cos⁡x+1=02 \cos x+1=0 অথবা, sin⁡2x−cos⁡x=0\sin 2 \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}=0 বা, cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2}  বা, 2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=0\text{ বা, } 2 \sin x \cos x-\cos x=0 বা, cos⁡x(2sin⁡x−1)=0\cos x(2 \sin x-1)=0 বা, cos⁡x=−cos⁡π3\cos x=-\cos \frac{\pi}{3} \quad আবার, cos⁡x=0\cos x=0 \quad অথবা, 2sin⁡x−1=02 \sin x-1=0 বা, cos⁡x=cos⁡(π−π3)\cos x=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) \quad বা, cos⁡x=cos⁡π2\cos x=\cos \frac{\pi}{2} \quad বা, sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} বা, cos⁡x=cos⁡2π3∴x=(2n+1)π2\cos x=\cos \frac{2 \pi}{3} \quad \therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \quad বা, sin⁡x=sin⁡π6\sin x=\sin \frac{\pi}{6} ∴x=2nπ±2π3\therefore \mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \quad যেখানে n\mathrm{n} পূর্ণসংখ্যা ∴x=nπ+(−1)nπ6\quad \therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6} যেখানে nn পূর্ণসংখ্যা \quadযেখানে nn পূর্ণসংখ্যা নির্ণেয় সমাধান, (2n+1)π2,2nπ±2π3,nπ+(−1)nπ6(2 n+1) \frac{\pi}{2}, 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{6}; যেখানে n\mathbf{n} যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

উত্তর

এখানে, f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} এবং g(y)=cos⁡y\mathrm{g}(\mathrm{y})=\cos \mathrm{y} সুতরাং, 2tan⁡−1f(α2)f(π2−α2)tan⁡(π4−β2)=tan⁡−1f(α)⋅f(β)g(π2−β)+f(π2−α)2 \tan^{-1} \frac{\mathrm{f}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\tan^{-1} \frac{\mathrm{f}(\alpha) \cdot \mathrm{f}(\beta)}{\mathrm{g}\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} বা, 2tan⁡−1sin⁡α2sin⁡(π2−α2)tan⁡(π4−β2)=tan⁡−1sin⁡α⋅cos⁡βcos⁡(π2−β)+sin⁡(π2−α)2 \tan^{-1} \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} বা, 2tan⁡−1sin⁡α2cos⁡α2tan⁡(π4−β2)=tan⁡−1sin⁡α⋅cos⁡βsin⁡β+cos⁡α2 \tan^{-1} \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta}{\sin \beta+\cos \alpha} বামপক্ষ =2tan⁡−1sin⁡α2cos⁡α2tan⁡(π4−β2)=2 \tan^{-1} \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right) =2tan⁡−1sin⁡α2sin⁡(π4−β2)cos⁡α2⋅cos⁡(π4−β2)=tan⁡−12⋅sin⁡α2sin⁡(π4−β2)cos⁡α2⋅cos⁡(π4−β2)1−sin⁡2α2sin⁡2(π4−β2)cos⁡2α2cos⁡2(π4−β2)=tan⁡−12⋅sin⁡α2sin⁡(π4−β2)cos⁡α2⋅cos⁡(π4−β2)cos⁡2α2cos⁡2(π4−β2)−sin⁡2α2sin⁡2(π4−β2)cos⁡2α2sin⁡2(π4−β2)=tan⁡−12sin⁡α2sin⁡(π4−β2)⋅cos⁡α2cos⁡(π4−β2){cos⁡α2cos⁡(π4−β2)}2−{sin⁡α2sin⁡(π4−β2)}2=tan⁡−112⋅2sin⁡α2cos⁡α2⋅2sin⁡(π4−β2)cos⁡(π4−β2){cos⁡α2cos⁡(π4−β2)+sin⁡α2sin⁡(π4−β2)}cos⁡α2cos⁡(π4−β2)−sin⁡α2sin⁡(π4−β2)}=tan⁡−1sin⁡αsin⁡2(π4−β2)cos⁡α+cos⁡(−π2+β)=tan⁡−1sin⁡αsin⁡(π2−β)cos⁡(α2−π4+β2+α2+π4−β2)+cos⁡(α2−π4+β2−α2−π4+β2)=tan⁡−1sin⁡α⋅cos⁡βcos⁡α+cos⁡(−π2+β)=tan⁡−1sin⁡αcos⁡βcos⁡α+cos⁡(π2−β)[∵cos⁡(−θ)=cos⁡θ]=tan⁡−1sin⁡α⋅cos⁡βsin⁡β+cos⁡α\begin{aligned}& =2 \tan^{-1} \frac{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}=\tan^{-1} \frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}}{1-\frac{\sin^{2} \frac{\alpha}{2} \sin^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2} \cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}} \\& =\tan^{-1} \frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}}{\frac{\cos^{2} \frac{\alpha}{2} \cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)-\sin^{2} \frac{\alpha}{2} \sin^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2} \sin^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}} \\& =\tan^{-1} \frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right) \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\left\{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right\}^{2}-\left\{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right\}^{2}} \\& =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cdot 2 \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\left.\left\{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)+\sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right\} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)-\sin \frac{\alpha}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)\right\}} \\& =\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \sin 2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)}{\cos \alpha+\cos \left(-\frac{\pi}{2}+\beta\right)} \\& =\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \sin \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}{\cos \left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)+\cos \left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}\right)} \\& =\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta}{\cos \alpha+\cos \left(-\frac{\pi}{2}+\beta\right)} \\& =\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}[\because \cos (-\theta)=\cos \theta] \\& =\tan^{-1} \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta}{\sin \beta+\cos \alpha}\end{aligned}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image
ক
question image
খ
question image
গ
question image

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65\cot \theta - \tan \theta = \frac{6}{5}. দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=02 \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) + 1 = 0.

Jessore · 2017

ক
প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.
খ
দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, θ=12sin⁡−1534\theta = \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

প্রমাণ কর যে, tan⁡−1(cot⁡3x)+tan⁡−1(−cot⁡5x)=2x\tan^{-1}(\cot 3\mathrm{x}) + \tan^{-1}(-\cot 5\mathrm{x}) = 2\mathrm{x}.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

ক
4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর
খ
e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

e=1e=1 হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

4x2−9y2−1=04 x^2-9 y^2-1=0 কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image

Barisal · 2017

ক
বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।
খ
নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
গ
নিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

[চিত্র][চিত্র][চিত্র]দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .প্রমাণ কর যে, [গণিত] .দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণটির উপকেন্দ্র এবং নিয়ামকের সমীকরণ বের কর।[গণিত] হলে দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কনিকের সমীকরণ নির্ণয় কর।[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত করনিবেশনটির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।নমুনাক্ষেত্রের সাহায্যে ২টি হেড ও বিজোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বের কর।বর্জনশীল এবং অবর্জনশীল ঘটনার সংজ্ঞা দাও।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন