Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] যেহেতু, A. [গণিত] বা, A. [গণিত] বা, A. [গণিত] বা, A. [গণিত] ধরে] এখন, [গণিত] নির্ণয়যোগ্য [গণিত] C এর সহগুণকসমূহ: [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

দেখাও যে, [গণিত]

উদ্দীপক

A^{-1}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\2 & 3 & 7 \\3 & 5 & 13\end{array}\]\right] ; B=\left[\[\begin{array}{c}8 \\12 \\21\end{array}\]\right]

Dinajpur · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{ccc}3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}3 & a & b+c \\ 3-3 & b-a & c+a-b-c \\ 3-3 & c-a & a+b-b-c\end{array}\]\right| \left[\[\begin{array}{ll}r_2^{\prime}=r_2-r_1 \r_3^{\prime}=r_3-r_1\end{array}\]\right] =\left|\[\begin{array}{ccc}3 & a & b+c \\ 0 & b-a & a-b \\ 0 & c-a & a-c\end{array}\]\right| =3\left|\[\begin{array}{ccc}1 & a & b+c \\ 0 & -(a-b) & a-b \\ 0 & -(a-c) & a-c\end{array}\]\right| =3\left|\[\begin{array}{ccc}-(a-b) & (a-b) \\ -(a-c) & (a-c)\end{array}\]\right| =3(a-b)(a-c)\left|\[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\]\right| =3(a−b)(a−c)(−1+1)=3(a-b)(a-c)(-1+1) =3(a−b)(a−c)×0=0==3(a-b)(a-c) \times 0=0= ডানপক্ষ \therefore\left|\[\begin{array}{lll}3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b\end{array}\]\right|=0. (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, A^{-1}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13\end{array}\]\right], B=\left[\[\begin{array}{c}8 \\ 12 \\ 21\end{array}\]\right] এবং P=\left[\[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\]\right] \therefore P^t=\left[\[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\]\right]^t=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এখন, B=A−1Pt\mathrm{B}=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{P}^{\mathrm{t}} বা, \left[\[\begin{array}{c}8 \\ 12 \\ 21\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] বা, \left[\[\begin{array}{c}8 \\ 12 \\ 21\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{c}x+2 y+5 z \\ 2 x+3 y+7 z \\ 3 x+5 y+13 z\end{array}\]\right] \therefore\left[\[\begin{array}{c}x+2 y+5 z \\ 2 x+3 y+7 z \\ 3 x+5 y+13 z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{c}8 \\ 12 \\ 21\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, x+2y+5z=8x+2 y+5 z=8 2x+3y+7z=122 x+3 y+7 z=12 এবং 3x+5y+13z=213 x+5 y+13 z=21 x,y,zx, y, z এর সহগ গুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, D =\left|\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13\end{array}\]\right| =1(39−35)−2(26−21)=1(39-35)-2(26-21) +5(10−9)+5(10-9) =4−10+5=−1=4-10+5=-1 এখন, D_x =\left|\[\begin{array}{ccc}8 & 2 & 5 \\ 12 & 3 & 7 \\ 21 & 5 & 13\end{array}\]\right| =8(39−35)−2(156−147)=8(39-35)-2(156-147) +5(60−63)+5(60-63) =8×4−2×9+5×(−3)=8 \times 4-2 \times 9+5 \times(-3) =32−18−15=−1=32-18-15=-1 D_y =\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 8 & 5 \\ 2 & 12 & 7 \\ 3 & 21 & 13\end{array}\]\right| =1(156−147)−8(26−21)=1(156-147)-8(26-21) +5(42−36)+5(42-36) =9−40+30=−1=9-40+30=-1 এবং D_z =\left|\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & 12 \\ 3 & 5 & 21\end{array}\]\right| =1(63−60)−2(42−36)=1(63-60)-2(42-36) +8(10−9)+8(10-9) =3−12+8=−1=3-12+8=-1 ∴x=DxD=−1−1=1;\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-1}{-1}=1 ; y=DyD=−1−1=1y=\frac{D_y}{D}=\frac{-1}{-1}=1 এবং z=DzD=−1−1=1z=\frac{D_z}{D}=\frac{-1}{-1}=1 ∴P(x,y,z)=(1,1,1)\therefore P(x, y, z)=(1,1,1) নির্ণেয় P=(1,1,1)P=(1,1,1).

উত্তর

দেওয়া আছে, A^{-1}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13\end{array}\]\right] যেহেতু, A. A−1=A−1⋅A=1A^{-1}=A^{-1} \cdot A=1 বা, A. A−1=IA^{-1}=I বা, A. A−1⋅(A−1)−1=I⋅(A−1)−1A^{-1} \cdot\left(A^{-1}\right)^{-1}=I \cdot\left(A^{-1}\right)^{-1} বা, A. I=(A−1)−1I=\left(A^{-1}\right)^{-1} ∴A=C−1[A−1=C\therefore \mathbf{A}=\mathbf{C}^{-1} \quad\left[\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{C}\right. ধরে] এখন, C=A^{-1}=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13\end{array}\]\right] \therefore |C| =\left|\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 5 & 13\end{array}\]\right| =1(39−35)−2(26−21)=1(39-35)-2(26-21) +5(10−9)+5(10-9) =4−10+5=−1≠0=4-10+5=-1 \neq 0 ∴C\therefore C নির্ণয়যোগ্য \operatorname{Adj} C=\left[\[\begin{array}{lll}C_{11} & C_{12} & C_{13} \C_{21} & C_{22} & C_{23} \C_{31} & C_{32} & C_{33}\end{array}\]\right]^T C এর সহগুণকসমূহ: C_{11}=\left|\[\begin{array}{cc}3 & 7 \\ 5 & 13\end{array}\]\right|=39-35=4 C_{12}=-\left|\[\begin{array}{cc}2 & 7 \\ 3 & 13\end{array}\]\right|=-(26-21)=-5 C_{13}=\left|\[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 3 & 5\end{array}\]\right|=10-9=1 C_{21}=-\left|\[\begin{array}{cc}2 & 5 \\ 5 & 13\end{array}\]\right|=-(26-25)=-1 C_{22}=\left|\[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ 3 & 13\end{array}\]\right|=13-15=-2 C_{23}=-\left|\[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right|=-(5-6)=1 C_{31}=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 7\end{array}\]\right|=14-15=-1 C_{32}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 5 \\ 2 & 7\end{array}\]\right|=-(7-10)=3 C_{33}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\]\right|=3-4=-1 \therefore Adj C=\left[\[\begin{array}{rrr}4 & -5 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -1\end{array}\]\right]^T =\left[\[\begin{array}{rrr}4 & -1 & -1 \\ -5 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\]\right] . ∴A=C−1=1∣C∣Adj⁡C\therefore A=C^{-1}=\frac{1}{|C|} \operatorname{Adj} C =\frac{1}{-1}\left[\[\begin{array}{rrr}4 & -1 & -1 \\ -5 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\]\right] . \therefore A=\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right] বামপক্ষ =BtA= B^tA =\left[\[\begin{array}{c}8 \\ 12 \\ 21\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{lll}8 & 12 & 21\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right] =[−32+60−21=[-32+60-21 8+24−218+24-21 8−36+21]8-36+21] =\left[\[\begin{array}{lll}7 & 11 & -7\end{array}\]\right]= ডানপক্ষ \therefore B^t A=\left[\[\begin{array}{lll}7 & 11 & -7\end{array}\]\right] . (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন