Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক Higher Math 1st Paper

HSC Higher Math 1st Paper এর Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন ও MCQ অনুশীলন করো।

৮৩৫

প্রশ্ন

Higher Math 1st Paper

বিষয়

HSC

ক্লাস

সাম্প্রতিক প্রশ্ন

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর

ধরি, A=\left[\[\begin{array}{cc}p-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] A\mathrm{A} ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে যদি ∣A∣=0|\mathrm{A}|=0 হয়। অর্থাৎ, \left|\[\begin{array}{cr}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right|=0 \quad বা, 5p−10−12=05 \mathrm{p}-10-12=0 বা, 5p−22=05 \mathrm{p}-22=0 বা, 5p=225 \mathrm{p}=22 ∴p=225\therefore \mathrm{p}=\frac{22}{5} (Ans.)
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর

দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{A}^2=\mathrm{A} . \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{cc} 16+6 & 8+10 \\ 12+15 & 6+25 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll} 22 & 18 \\ 27 & 31 \end{array}\]\right] \therefore \mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll} 22 & 18 \\ 27 & 31 \end{array}\]\right]-5\left[\[\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}\]\right]+6\left[\[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ll} 22 & 18 \\ 27 & 31 \end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ll} 20 & 10 \\ 15 & 25 \end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{ll} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ll} 22-20+6 & 18-10+0 \\ 27-15+0 & 31-25+6 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{cc} 8 & 8 \\ 12 & 12 \end{array}\]\right] \text{ (Ans.) }
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right], \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \mathrm{y}\end{array}\]\right] প্রশ্নমতে, AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} বা, \left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] \therefore\left[\[\begin{array}{l}4 x+2 y \\ 3 x+5 y\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই, 4x+2y=64 x+2 y=6 3x+5y=13 x+5 y=1 এখানে, xx ও yy এর সহগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক \mathrm{D}=\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}\]\right|=20-6=14 \mathrm{D}_{\mathrm{x}}=\left|\[\begin{array}{ll} 6 & 2 \\ 1 & 5 \end{array}\]\right|=30-2=28 \mathrm{D}_{\mathrm{y}}=\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 6 \\ 3 & 1 \end{array}\]\right|=4-18=-14 ∴x=DxD=2814=2\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{D}}=\frac{28}{14}=2 এবং y=DyD=−1414=−1\mathrm{y}=\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{D}}=\frac{-14}{14}=-1 ∴x=2\therefore \mathrm{x}=2 এবং y=−1 (Ans.) \mathrm{y}=-1 \text{ (Ans.) }

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর

বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{lll}x & -a & x+a \y & -b & y+b \z & -c & z+c\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{lll}x & -a & x+a-a \y & -b & y+b-b \z & -c & z+c-c\end{array}\]\right|\left[c_3{ }^{\prime}=c_3+c_2\right] =\left|\[\begin{array}{lll}x & -a & x \y & -b & y \z & -c & z\end{array}\]\right| [যদি কোনো নির্ণায়কের দুইটি সারি বা কলাম একই হয়, তবে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়] = 0 \therefore\left|\[\begin{array}{lll}x & -a & x+a \y & -b & y+b \z & -c & z+c\end{array}\]\right|=0 (প্রমাণিত)
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর

\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5\end{array}\]\right] \therefore|A|=\left|\[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 5\end{array}\]\right|=-1(5+0)-2(10-0)+(-3)(-4-4) =−5−20+24=−1≠0=-5-20+24=-1 \neq 0 ∴A−1\therefore \mathrm{A}^{-1} নির্ণয়যোগ্য। \therefore \operatorname{adj} A=\left[\[\begin{array}{rrr}\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 5\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 4 & 5\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 4 & -2\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -2 & 5\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ 4 & 5\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 4 & -2\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 1 & 0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}-1 & -3 \\ 2 & 0\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right|\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ccc}5 & -10 & -8 \\ -4 & 7 & 6 \\ 3 & -6 & -5\end{array}\]\right]^t=\left[\[\begin{array}{ccc}5 & -4 & 3 \\ -10 & 7 & -6 \\ -8 & 6 & -5\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|} \operatorname{adj} \mathrm{A}=\frac{1}{-1}\left[\[\begin{array}{rrr}5 & -4 & 3 \\ -10 & 7 & -6 \\ -8 & 6 & -5\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{rrr}-5 & 4 & -3 \\ 10 & -7 & 6 \\ 8 & -6 & 5\end{array}\]\right] (Ans.)
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর

দৃশ্যকল্প অনুসারে, 27x+37y−57z=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=1 3x5−y5−2z5=1\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1 ∴3x−y−2z=5\therefore 3 \mathrm{x}-\mathrm{y}-2 \mathrm{z}=5 (i), (ii) ও (iii) নং হতে x,y\mathrm{x}, \mathrm{y} ও z\mathrm{z} এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \mathrm{D}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -5 \\ 1 & -4 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{array}\]\right| =2(8+1)-3(-2-3)-5(-1+12) =18+15−55=−22≠0=18+15-55=-22 \neq 0 \mathrm{D}_{\mathrm{x}}=\left|\[\begin{array}{ccc} 7 & 3 & -5 \\ 4 & -4 & 1 \\ 5 & -1 & -2 \end{array}\]\right| =7(8+1)-3(-8-5)-5(-4+20) =63+39−80=22=63+39-80=22 \mathrm{D}_{\mathrm{y}}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & 7 & -5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 3 & 5 & -2 \end{array}\]\right|=2(-8-5)-7(-2-3)-5(5-12) =−26+35+35=44=-26+35+35=44 \mathrm{D}_{\mathrm{z}}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -4 & 4 \\ 3 & -1 & 5 \end{array}\]\right|=2(-20+4)-3(5-12)+7(-1+12) =−32+21+77=66=-32+21+77=66 ∴x=DxD=22−22=−1\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{22}{-22}=-1 y=DyD=44−22=−2,y=\frac{D_y}{D}=\frac{44}{-22}=-2, z=DzD=66−22=−3z=\frac{D_z}{D}=\frac{66}{-22}=-3 ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(−1,−2,−3)(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(-1,-2,-3) (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর

দেওয়া আছে, 2\left[\[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 বা, \left[\[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 4 & -2\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right] বা, \mathrm{F}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ll}2 & -4 \\ 4 & -2\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{F}=\left[\[\begin{array}{ll}-1 & 4 \\ -4 & 3\end{array}\]\right] (Ans.) $
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর

x+y+z=1\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 lx+my+nz=kl \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} l2x+m2y+n2z=k2l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করে পাই, \left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \mathrm{z}\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{c}1 \\ \mathrm{k} \\ \mathrm{k}^2\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{AX}=\mathrm{B} যেখানে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right] \text{, } \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \mathrm{z}\end{array}\]\right] এবং \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{c}1 \\ \mathrm{k} \\ \mathrm{k}^2\end{array}\]\right] \therefore \operatorname{det}(\mathrm{A})=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}1-1 & 1-1 & 1 \l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} & \mathrm{n} \l^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right| \quad \[\begin{array}{c}{\left[\mathrm{C}_1{ }^{\prime}=\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_2 ;\right.} \\ \left.\mathrm{C}_2{ }^{\prime}=\mathrm{C}_1-\mathrm{C}_3\right]\end{array}\] =\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} & \mathrm{n} \l^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{cc}l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} \l^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{cc}l-\mathrm{m} & \mathrm{m}-\mathrm{n} \\ (l+\mathrm{m})(l-\mathrm{m}) & (\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{m}+\mathrm{n})\end{array}\]\right| =(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})\left|\[\begin{array}{cc}1 & 1 \l+\mathrm{m} & \mathrm{m}+\mathrm{n}\end{array}\]\right| =(l−m)(m−n)(m+n−l−m)=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{m}+\mathrm{n}-l-\mathrm{m}) ∴det⁡A)=(l−m)(m−n)(n−l)\therefore \operatorname{det} \mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l) দেখানো হনো)
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে x, y ও z এর সহগ নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \l & \mathrm{~m} & \mathrm{n} \l^2 & \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}^2\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1^2 & 2^2 & (-1)^2 \end{array}\]\right][\because l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1] =\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{array}\]\right] \therefore|\mathrm{A}|=\left|\[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{array}\]\right| =1(2+4)−1(1+1)+1(4−2)=1(2+4)-1(1+1)+1(4-2) =6−2+2=6≠0=6-2+2=6 \neq 0 ∴A−1\therefore \mathrm{A}^{-1} নির্ণয়যোগ্য। \therefore \operatorname{adjA}=\left[\[\begin{array}{rrr}\left|\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 4 & 1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{lr}1 & 1 \\ 4 & 1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 4\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right|\end{array}\]\right]^{t} =\left[\[\begin{array}{rrr}6 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\]\right]^{\mathrm{t}}=\left[\[\begin{array}{rrr}6 & 3 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\]\right] ∴A−1=1∣ A∣\therefore \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|} adj \mathrm{A}=\frac{1}{6}\left[\[\begin{array}{rrr}6 & 3 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\]\right] (Ans.)

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

HSCHigher Math 1st Paperসৃজনশীল

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর

ধরি, y=g(x)=12x−3y=g(x)=\frac{1}{2 x-3} বা, 2xy−3y=12 x y-3 y=1 বা, 2xy=1+3y2 x y=1+3 y ∴x=1+3y2y∈N‾\therefore \mathrm{x}=\frac{1+3 \mathrm{y}}{2 \mathrm{y}} \in \overline{\mathrm{N}} হবে যদি ও কেবল যদি y≠0\mathrm{y} \neq 0 হয়। ∴g(x)\therefore \mathrm{g}(\mathrm{x}) ফাংশনটির রেঞ্জ = N‾−{0}\overline{\mathrm{N}}-\{0\} (Ans.)
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=x2−4xf(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x} ∴f( B)=B2−4 B\therefore f(\mathrm{~B})=\mathrm{B}^2-4 \mathrm{~B} \therefore \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right] \therefore \mathrm{B}^2=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{lll} 4+3+1 & 2+2+2 & 2+2+0 \\ 6+6+2 & 3+4+4 & 3+4+0 \\ 2+6+0 & 1+4+0 & 1+4+0 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 6 & 4 \\ 14 & 11 & 7 \\ 8 & 5 & 5 \end{array}\]\right] \therefore f(\mathrm{~B})=\mathrm{B}^2-4 \mathrm{~B}=\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 6 & 4 \\ 14 & 11 & 7 \\ 8 & 5 & 5 \end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 4 \\ 12 & 8 & 8 \\ 4 & 8 & 0 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 4 & -3 & 5 \end{array}\]\right] \text{ (Ans.) }
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর

|\mathrm{B}| =\left|\[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right| ['খ' হতে প্রাপ্ত] =2(0−4)−1(0−2)+1(6−2)=2(0-4)-1(0-2)+1(6-2) =−8+2+4=−2≠0=-8+2+4=-2 \neq 0 ∴B−1\therefore \mathrm{B}^{-1} নির্ণয়যোগ্য। \begin{aligned} & \mathrm{B}_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 0\end{aligned}\right|=0-4=-4 \\ & \mathrm{~B}_{12}=(-1)^{1+2}\left|\[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\]\right|=-(0-2)=2 \\ & \mathrm{~B}_{13}=(-1)^{1+3}\left|\[\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 2\end{array}\]\right|=6-2=4 \\ & \mathrm{~B}_{21}=(-1)^{2+1}\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\]\right|=-(0-2)=2 \\ & \mathrm{~B}_{22}=(-1)^{2+2}\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\]\right|=0-1=-1 \\ & \mathrm{~B}_{23}=(-1)^{2+3}\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\]\right|=-(4-1)=-3 \\ & \mathrm{~B}_{31}=(-1)^{3+1}\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\]\right|=2-2=0 \\ & \mathrm{~B}_{32}=(-1)^{3+2}\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\]\right|=-(4-3)=-1 \\ & \mathrm{~B}_{33}=(-1)^{3+3}\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\]\right|=4-3=1\end{aligned} \end{array} \begin{aligned} & \therefore \mathrm{B}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~B}|} \operatorname{adjB}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{ccc}-4 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 1\end{aligned}\right]^{\mathrm{t}} \\ &=\frac{-1}{2}\left[\[\begin{array}{ccc}-4 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 4 & -3 & 1\end{array}\]\right] \text{ (Ans.) }\end{aligned} \end{array}\end{array}

সম্পূর্ণ প্রশ্ন দেখো

বিনামূল্যে অনুশীলন শুরু করো