Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে [গণিত] হতে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটের সমাধান কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] নির্ণেয় সমাধান, [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

ক্রেমারের নিয়মের সাহায্যে হতে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটের সমাধান কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right], f(α)=α2−5αf(\alpha)=\alpha^2-5 \alpha দৃশ্যকক্স-২ : \beta=\left[\[\begin{array}{lll}3 x+2 y+z & x+2 y+3 z & 2 x+y+4 z\end{array}\]\right] এবং \gamma=\left[\[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\]\right]

Mymensingh · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{lll}3+a & a & 12-a \\ 4+b & b & 16-b \\ 5+c & c & 20-c\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{lll}4(3+a)-(12-a) & a & 12-a \\ 4(4+b)-(16-b) & b & 16-b \\ 4(5+c)-(20-c) & c & 20-c\end{array}\]\right| [c1′=4c1−c3]\left[c_1^{\prime}=4 c_1-c_3\right] =\left|\[\begin{array}{lll}12+4 a-12+a & a & 12-a \\ 16+4 b-16+b & b & 16-b \\ 20+4 c-20+c & c & 20-c\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}5 \mathrm{a} & \mathrm{a} & 12-\mathrm{a} \\ 5 \mathrm{~b} & \mathrm{~b} & 16-\mathrm{b} \\ 5 \mathrm{c} & \mathrm{c} & 20-\mathrm{c}\end{array}\]\right| =5\left|\[\begin{array}{ccc}\mathrm{a} & \mathrm{a} & 12-\mathrm{a} \\ \mathrm{b} & \mathrm{b} & 16-\mathrm{b} \\ \mathrm{c} & \mathrm{c} & 20-\mathrm{c}\end{array}\]\right| =5×0[∵=5 \times 0 [\because প্রথম দুইটি কলাম একই] = 0 = ডানপক্ষ \therefore\left|\[\begin{array}{ccc}3+a & a & 12-a \\ 4+b & b & 16-b \\ 5+c & c & 20-c\end{array}\]\right|=0. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right] এবং f(α)=α2−5αf(\alpha)=\alpha^2-5 \alpha ∴f( A)=A2−5 A\therefore f(\mathrm{~A})=\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A} এখন, f( A)+4I3=0f(\mathrm{~A})+4 \mathrm{I}_3=0; যেখানে, \mathrm{I}_3=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right] বা, A2−5 A+4I3=0\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+4 \mathrm{I}_3=0 বা, A−1(A2−5A+4I3)=A−1⋅0A^{-1}\left(A^2-5 A+4 I_3\right)=A^{-1} \cdot 0 বা, A−1⋅A2−5A−1⋅A+4A−1⋅I3=0A^{-1} \cdot A^2-5 A^{-1} \cdot A+4 A^{-1} \cdot I_3=0 বা, A−1⋅A⋅A−5A−1⋅A+4A−1⋅I3=0A^{-1} \cdot A \cdot A-5 A^{-1} \cdot A+4 A^{-1} \cdot I_3=0 বা, I3A−5I3+4A−1=0[∵A−1A=II_3 A-5 I_3+4 A^{-1}=0\left[\because A^{-1} A=I\right. এবং A−1⋅I=A−1]\left.A^{-1} \cdot I=A^{-1}\right] বা, A−5I3+4 A−1=0\mathrm{A}-5 \mathrm{I}_3+4 \mathrm{~A}^{-1}=0 বা, 4 A−1=5I3−A4 \mathrm{~A}^{-1}=5 \mathrm{I}_3-\mathrm{A} বা, 4 A^{-1}=5\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right] বা, 4 A^{-1}=\left[\[\begin{array}{lll}5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{lll}5-2 & 0-3 & 0+1 \\ 0-2 & 5-0 & 0-2 \\ 0-1 & 0+2 & 5-0\end{array}\]\right] \therefore A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\]\right] নির্ণেয় A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 1 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & 2 & 5\end{array}\]\right].

উত্তর

দেওয়া আছে, \beta=\left[\[\begin{array}{lll}3 x+2 y+z & x+2 y+3 z & 2 x+y+4 z\end{array}\]\right] এবং \gamma=\left[\[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\]\right] এখন, βT=γT\beta^{\mathrm{T}}=\gamma^{\mathrm{T}} হলে, \left[\[\begin{array}{lll}3 x+2 y+z & x+2 y+3 z & 2 x+y+4 z\end{array}\]\right]^T =\left[\[\begin{array}{lll}3 & -1 & 2\end{array}\]\right]^T বা, \left[\[\begin{array}{l}3 x+2 y+z \x+2 y+3 z \\ 2 x+y+4 z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{r}3 \\ -1 \\ 2\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই, 3x+2y+z=33 x+2 y+z =3 x+2y+3z=−1x+2 y+3 z =-1 এবং 2x+y+4z=22 x+y+4 z =2 x,y,zx, y, z এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, \mathrm{D} =\left|\[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\]\right| =3(8−3)−2(4−6)+1(1−4)=3(8-3)-2(4-6)+1(1-4) =15+4−3=16=15+4-3=16 এখন, D_x =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\]\right| =3(8−3)−2(−4−6)+1(−1−4)=3(8-3)-2(-4-6)+1(-1-4) =15+20−5=30=15+20-5=30 D_y =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\]\right| =3(−4−6)−3(4−6)+1(2+2)=3(-4-6)-3(4-6)+1(2+2) =−30+6+4=−20=-30+6+4=-20 এবং D_2 =\left|\[\begin{array}{rrr}3 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2\end{array}\]\right| =3(4+1)−2(2+2)+3(1−4)=3(4+1)-2(2+2)+3(1-4) =15−8−9=−2=15-8-9=-2 ∴x=DxD=3016=158,\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8}, y=DyD=−2016=−54y=\frac{D_y}{D}=\frac{-20}{16}=-\frac{5}{4} এবং z=DzD=−216=−18z=\frac{D_z}{D}=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8} নির্ণেয় সমাধান, (x,y,z)=(158,−54,−18)(x, y, z)=\left(\frac{15}{8},-\frac{5}{4},-\frac{1}{8}\right).
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন