প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] apqr [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
\mathrm{P}=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\]\right], \mathrm{Q}=\left[\[\begin{array}{ccc}a p^{3}-\mathrm{m}^{3} & a q^{3}-\mathrm{m}^{3} & \mathrm{ar}^{3}-\mathrm{m}^{3} \\ \mathrm{p}^{2} & \mathrm{q}^{2} & \mathrm{r}^{2} \\ \mathrm{p} & \mathrm{q} & \mathrm{r}\end{array}\]\right]
উত্তর
আমরা জানি, কোনো ম্যাট্রিক্সের মূখ্য কর্ণ বরাবর ভুক্তিগুলো 0 এবং অন্যান্য যেকোনো ভুক্তির ক্ষেত্রে হলে তা বক্রপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
\mathrm{R}=\left[\[\begin{array}{rrr}0 & 3 & \mathrm{x} \\ -3 & \mathrm{y} & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সটি বক্রপ্রতিসম বলে,
মূখ্য কর্ণের ভুক্তিগুলো 0]
প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সে
নির্ণেয় মান: (Ans.)
উত্তর
|\mathrm{P}|=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\]\right|=1(-0+1)-2(0+2)+1(3+6)
নির্ণয়যোগ্য।
\therefore \operatorname{adj} P=\left[\[\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}-3 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 2 & 0\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}3 & -3 \\ 2 & 1\end{array}\right| \\ -\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right| \\ \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -3 & -1\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 3 & -1\end{array}\right| & \left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & -3\end{array}\right|\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 9 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 4 & -9\end{array}\]\right]^t=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 4 \\ 9 & 3 & -9\end{array}\]\right]
adj \mathrm{P}=\frac{1}{6}\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 4 \\ 9 & 3 & -9\end{array}\]\right] (Ans.)
উত্তর
বামপক্ষ
=\left|\[\begin{array}{ccc}a p^{3}-m^{3} & a q^{3}-m^{3} & a r^{3}-m^{3} \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}a p^{3} & a q^{3} & a r^{3} \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc}m^{3} & m^{3} & m^{3} \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right|
=\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right|-m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p & q & r\end{array}\]\right|
=-\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}p^{2} & q^{2} & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right|+m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|
=\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}p & q & r \\ 1 & 1 & 1 \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|+m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|
=-\operatorname{apqr}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|+m^{3}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|
=\left(-\operatorname{apqr}+m^{3}\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|
=\left(-a p q r+m^{3}\right)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \p-q & q-r & r \p^{2}-q^{2} & q^{2}-r^{2} & r^{2}\end{array}\]\right|\left[\[\begin{array}{l}c_{1}^{\prime}=c_{1}-c_{2} \c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{3}\end{array}\]\right]
=\left(-a p q r+m^{3}\right)\left|\[\begin{array}{cc}p-q & q-r \\ (p+q)(p-q) & (q+r)(q-r)\end{array}\]\right|
=\left(-a p q r+m^{3}\right)(p-q)(q-r)\left|\[\begin{array}{cc}1 & 1 \p+q & q+r\end{array}\]\right|
apqr
ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)