Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণটি (ক্রেমারের নিয়রে) সমাধান কর।

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণ জোট, [গণিত] 'খ' হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত] (Ans.)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

সমীকরণটি (ক্রেমারের নিয়রে) সমাধান কর।

উদ্দীপক

L=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\]\right], M=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1 \\ 1\end{array}\]\right], N=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এবং A=\left|\[\begin{array}{lcc}P^{2} & a^{2} & a^{2} \b^{2} & Q^{2} & b^{2} \c^{2} & c^{2} & R^{2}\end{array}\]\right|

উত্তর

দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 15 & -4\end{array}\]\right]. \therefore A^2 =A \times A=\left[\[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 15 & -4\end{array}\]\right] \times\left[\[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 15 & -4\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{cc}16-15 & -4+4 \\ 60-60 & -15+16\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right] যেহেতু A2=1A^{2}=1 সেহেতু AA একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স। (যাচাই করা হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, \mathrm{C}=\left(\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^{2} & l^{2} & l^{2} \\ \mathrm{~m}^{2} & (\mathrm{n}+l)^{2} & \mathrm{~m}^{2} \\ \mathrm{n}^{2} & \mathrm{n}^{2} & (l+\mathrm{m})^{2}\end{array}\]\right) বামপক্ষ =|\mathrm{C}|=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2 & l^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2 & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2 & (l+\mathrm{m})^2\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2-\mathrm{m}^2 & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m})^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+)^2-\mathrm{m}^2 & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m})^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right| [c2′=c2−c1\left[c_2^{\prime}=c_2-c_1\right. এবং c3′=c3−c1c_3^{\prime}=c_3-c_1 প্রয়োগ করে ] =\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) \\ \mathrm{m}^2 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(\mathrm{n}+l-\mathrm{m}) & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l+\mathrm{m}-\mathrm{n})\end{array}\]\right| =(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & (l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) & (l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) \\ \mathrm{m}^2 & (\mathrm{n}+l-\mathrm{m}) & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m}-\mathrm{n})\end{array}\]\right| =(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{n} & -2 \mathrm{~m} \\ \mathrm{~m}^2 & \mathrm{n}+l-\mathrm{m} & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & l+\mathrm{m}-\mathrm{n}\end{array}\]\right| [r1′=r1−(r2+r3)]\left[r_1^{\prime}=r_1-\left(r_2+r_3\right)\right] =\frac{(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2}{\mathrm{mn}}\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{mn} \\ \mathrm{m}^2 & \mathrm{mn}+l \mathrm{~m}-\mathrm{m}^2 & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & l \mathrm{n}+\mathrm{mn}-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right| =\frac{(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2}{\mathrm{mn}}\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & 0 & 0 \\ \mathrm{~m}^2 & \mathrm{mn}+l \mathrm{~m} & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2 & l \mathrm{n}+\mathrm{mn}\end{array}\]\right| [c2′=c1+c2;c3′=c3+c1]\left[c_2^{\prime}=c_1+c_2 ; c_3^{\prime}=c_3+c_{1]}\right. =\frac{(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2}{\mathrm{mn}} \times 2 \mathrm{mn}\left|\[\begin{array}{cc}\mathrm{mn}+l \mathrm{~m} & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & l \mathrm{n}+\mathrm{mn}\end{array}\]\right| =2(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \cdot \mathrm{mn}\left|\[\begin{array}{cc}\mathrm{n}+l & \mathrm{~m} \\ \mathrm{n} & l+\mathrm{m}\end{array}\]\right| =2mn(l+m+n)2[(n+l)(l+m)−mn]=2 \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2[(\mathrm{n}+l)(l+\mathrm{m})-\mathrm{mn}] =2mn(l+m+n)2(nl+l2+mn+l m−mn)=2 \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2\left(\mathrm{n} l+l^2+\mathrm{mn}+l \mathrm{~m}-\mathrm{mn}\right) =2lmn(l+m+n)2(n+l+m)=2 l \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2(\mathrm{n}+l+\mathrm{m}) =2lmn(l+m+n)3==2 l \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^3= ডানপক্ষ ∴∣C∣=2lmn(l+m+n)3\therefore|\mathrm{C}|=2 l \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^3 (দেখানো হলো)

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ জোট, 2x−y−z=62 x-y-z=6 x+3y+2z=1x+3 y+2 z=1 3x−y−5z=13 x-y-5 z=1 'খ' হতে পাই, D=\left|\[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & -5 \end{array}\]\right|=-27 \therefore D_{x}=\left|\[\begin{array}{ccc} 6 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{array}\]\right| =6(−15+2)+1(−5−2)−1(−1−3)=6(-15+2)+1(-5-2)-1(-1-3) =−78−7+4=−81=-78-7+4=-81 \therefore D_{y}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -5 \end{array}\]\right| =2(−5−2)−6(−5−6)−1(1−3)=2(-5-2)-6(-5-6)-1(1-3) =−14+66+2=54=-14+66+2=54 \therefore D_{2}=\left|\[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 6 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{array}\]\right| =2(3+1)+1(1−3)+6(−1−9)=2(3+1)+1(1-3)+6(-1-9) =8−2−60=−54=8-2-60=-54 ∴x=DxD=−81−27=3;y=DyD=54−27=−2\therefore x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{-81}{-27}=3 ; y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{54}{-27}=-2 এবং z=DzD=−54−27=2z=\frac{D_{z}}{D}=\frac{-54}{-27}=2 ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান : (x,y,z)=(3,−2,2)(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3,-2,2) (Ans.)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন