দেখাও যে, [গণিত] .
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] (দেখানো হলো)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দেখাও যে, .
উদ্দীপক
\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^{2} & l^{2} & l^{2} \\ \mathrm{~m}^{2} & (\mathrm{n}+1)^{2} & \mathrm{~m}^{2} \\ \mathrm{n}^{2} & \mathrm{n}^{2} & (l+\mathrm{m})^{2}\end{array}\]\right].
উত্তর
নির্ণায়ক : দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে সুশৃঙ্খল ও বর্গাকারভাবে কতকগুলি সংখ্যার সাজানো রাশি হলো নির্ণায়ক। অর্থাৎ, নির্দিষ্ট নিয়মে কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সে হতে যে নির্দিষ্ট মান পাওয়া যায় তাকে ঐ ম্যাট্রিক্স এর নির্ণায়ক বলে। নির্ণায়ক হলো বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি বিশেষ ধরনের ফাংশন। যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে তার নির্ণায়ককে |A| বা Det (A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। নির্ণায়কের সর্বদা নির্দিষ্ট একটি মান থাকে।
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^{2} & l^{2} & l^{2} \\ \mathrm{~m}^{2} & \left(\mathrm{n}+l^{2}\right. & \mathrm{m}^{2} \\ \mathrm{n}^{2} & \mathrm{n}^{2} & (l+\mathrm{m})^{2}\end{array}\]\right]
হলে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{array}\]\right]
A এর সহগুণকগুলি হচ্ছে :
A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right|=16-1=15
A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array}\]\right|=1-4=-3
A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right|=16-1=15
A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}\]\right|=1-4=-3
A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\[\begin{array}{ll} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right|=16-1=15
\therefore Adj(A)=\left[\[\begin{array}{ccc} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{ccc} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{array}\]\right]
\therefore \mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{Adj}(\mathrm{A})=\frac{1}{54}\left[\[\begin{array}{ccc} 15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15 \end{array}\]\right]
=\frac{1}{54} \times 3\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{array}\]\right]=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{array}\]\right]
নির্ণেয় A^{-1}=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr} 5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5 \end{array}\]\right]
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2 & l^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2 & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2 & (l+\mathrm{m})^2\end{array}\]\right]
\therefore|\mathrm{A}|=\left|\[\begin{array}{ccc} (\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2 & l^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2 & \mathrm{~m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2 & (l+\mathrm{m})^2 \end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \\ \mathrm{~m}^2 & (\mathrm{n}+l)^2-\mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}^2-\mathrm{m}^2 \\ \mathrm{n}^2 & \mathrm{n}^2-\mathrm{n}^2 & (l+\mathrm{m})^2-\mathrm{n}^2\end{array}\]\right|\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{c}_2^{\prime}=\mathrm{c}_2-\mathrm{c}_1 \\ \mathrm{c}_3^{\prime}=\mathrm{c}_3-\mathrm{c}_1\end{array}\]\right]
=\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l-\mathrm{m}-\mathrm{n}) \\ \mathrm{m}^2 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(\mathrm{n}+l-\mathrm{m}) & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & (l+\mathrm{m}+\mathrm{n})(l+\mathrm{m}-\mathrm{n})\end{array}\]\right|
=(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2\left|\[\begin{array}{ccc}(\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 & l-\mathrm{m}-\mathrm{n} & l-\mathrm{m}-\mathrm{n} \\ \mathrm{m}^2 & \mathrm{n}+l-\mathrm{m} & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & l+\mathrm{m}-\mathrm{n}\end{array}\]\right|
=(l+m+n)^2\left|\[\begin{array}{ccc}2 m n & -2 n & -2 m \m^2 & n+l-m & 0 \n^2 & 0 & l+m-n\end{array}\]\right|\left[r_1^{\prime}=r_1-r_2-r_3\right]
=(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2 \times \frac{1}{\mathrm{mn}}\left|\[\begin{array}{ccc}2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{mn} & -2 \mathrm{mn} \\ \mathrm{m}^2 & \mathrm{~m}(\mathrm{n}+l-\mathrm{m}) & 0 \\ \mathrm{n}^2 & 0 & \mathrm{n}(l+\mathrm{m}-\mathrm{n})\end{array}\]\right|
=(l+m+n)^2 \times \frac{2 m n \times m \times n}{m n}\left|\[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \m & n+l-m & 0 \n & 0 & l+m-n\end{array}\]\right|
=2 \mathrm{mn}(l+\mathrm{m}+\mathrm{n})^2\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \mathrm{~m} & \mathrm{n}+l & \mathrm{~m} \\ \mathrm{n} & \mathrm{n} & l+\mathrm{m}\end{array}\]\right|\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{c}_2^{\prime}=\mathrm{c}_2+\mathrm{c}_1 \\ \mathrm{c}_3^{\prime}=\mathrm{c}_3+\mathrm{c}_1\end{array}\]\right]
(দেখানো হলো)