দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] [ [গণিত] প্রয়োগ করে] [গণিত] এবৎ [গণিত] প্রয়োগ করে [গণিত] [৩য় কলাম সাপেক্ষে বিস্তার করে। [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত) [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ করো যে, .
উদ্দীপক
দৃশ্যকল্প-১ : A=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5\end{array}\]\right], B=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right]
এবং \mathrm{C}=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
দৃশ্যকল্প-২: R=\left[\[\begin{array}{lll}(b+c)^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1\end{array}\]\right].
উত্তর
দেওয়া আছে, \left[\[\begin{array}{ccc}2 & 2 b-4 & 0 \a & 2 & 0 \\ 0 & c+3 & 2\end{array}\]\right] একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স। তাই মূখ্য কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অন্য ভুক্তিগুলো শূন্য হবে।
অর্থাৎ,
বা,
এবং
বা,
প্রদত্ত রাশি
নির্ণেয় মান :-1.
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5\end{array}\]\right], \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right]
এবং C=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
\begin{aligned} \therefore \quad A B & =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5\end{aligned}\right] \times\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right] \\ & =\left[\[\begin{array}{rrr}3-4+2 & -4+2+2 & 2+0-2 \\ 6-10+4 & -8+5+4 & 4+0-5 \\ 9-14+5 & -12+7+5 & 6+0-5\end{array}\]\right] \\ & =\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]=I_3\end{aligned}
\end{array}
আবার,
বা,
বা,
এখন, |C|=\left|\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right|=1(1-0)=1 \neq 0
নির্ণয়যোগ্য
ম্যাট্রিক্সের সহগুণকসমূহ :
\begin{aligned} & A_{11}=\left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{aligned}\right|=1-0=1 \\ & A_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right|=0 \\ & A_{13}=\left|\[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\]\right|=0-0=0 \\ & A_{21}=-\left|\[\begin{array}{rr}-2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right|=-(-2-0)=2 \\ & A_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right|=1-0=1 \\ & A_{23}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 0 & 0\end{array}\]\right|=0 \\ & A_{31}=\left|\[\begin{array}{rr}-2 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\]\right|=0 \\ & A_{32}=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\]\right|=0 \\ & A_{33}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\]\right|=1-0=1\end{aligned}
\end{array}
নির্ণেয় D=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right].\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে, R=\left[\[\begin{array}{lll}(b+c)^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1\end{array}\]\right]
বামপক্ষ =|R|=\left|\[\begin{array}{lll}(b+c)^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1\end{array}\]\right|=\left[\[\begin{array}{lll}(b+c)^2-a^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2-b^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2-c^2 & c^2 & 1\end{array}\]\right]
[ প্রয়োগ করে]
\begin{aligned} & =\left|\begin{array}{ccc}(a+b+c)(b+c-a) & a^2 & 1 \\ (a+b+c)(c+a-b) & b^2 & 1 \\ (a+b+c)(a+b-c) & c^2 & 1\end{aligned}\right|=(a+b+c)\left|\[\begin{array}{ccc}(b+c-a) & a^2 & 1 \\ (c+a-b) & b^2 & 1 \\ (a+b-c) & c^2 & 1\end{array}\]\right| \\ & =(a+b+c)\left|\[\begin{array}{ccc}-2(a-b) & a^2-b^2 & 0 \\ -2(b-c) & b^2-c^2 & 0 \\ (a+b-c) & c^2 & 1\end{array}\]\right|\end{aligned}
\end{array}
এবৎ প্রয়োগ করে
=(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\left|\[\begin{array}{ll}-2(\mathrm{a}-\mathrm{b}) & (\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}-\mathrm{b}) \\ -2(\mathrm{~b}-\mathrm{c}) & (\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}-\mathrm{c})\end{array}\]\right|
[৩য় কলাম সাপেক্ষে বিস্তার করে।
\begin{aligned} & =-2(a+b+c)(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ll}1 & (a+b) \\ 1 & (b+c)\end{aligned}\right| \\ & =-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(b+c-a-b) \\ & =-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\end{aligned}
\end{array}
ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)\end{array}