যদি [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [গণিত] .
উত্তর: [গণিত] প্রশ্নমতে det [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত) [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
যদি হয়, তবে প্রমাণ করো যে, .
উত্তর
\begin{aligned}& \operatorname{det}(P)=\left|\begin{array}{ccc}1+x^2-y^2 & 2 x y & 2 y \\2 x y & 1-x^2+y^2 & -2 x \\-2 y & 2 x & 1-x^2-y^2\end{aligned}\right| \\& =\left|\[\begin{array}{ccc}1+\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2 & 2 \mathrm{xy} & 2 \mathrm{y} \\0 & 1-\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2 & -2 \mathrm{x} \\-\mathrm{y}^{\prime}-\mathrm{x}^2 \mathrm{y}-\mathrm{y}^3 & 2 \mathrm{x} & 1-\mathrm{x}^2-\mathrm{y}^2\end{array}\]\right|\left[\mathrm{c}_1^{\prime}=\mathrm{c}_1+\mathrm{yc}_3 \text{ প্রয়োগ করে }\right] \\& =\left(1+x^2+y^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 x y & 2 y \\0 & 1-x^2+y^2 & -2 x \\-y & 2 x & 1-x^2-y^2\end{array}\]\right| \\& =\left(1+x^2+y^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 y \\0 & 1+x^2+y^2 & -2 x \\-y & x+x^3+x^2 & 1-x^2-y^2\end{array}\]\right|\left[c_2^{\prime}=c_2-xc_3\right. \text{ [প্রয়োগ করে ] } \\& =\left(1+x^2+y^2\right)^2\left|\[\begin{array}{rrc}1 & 0 & 2 y \\0 & 1 & -2 x \\-y & x & 1-x^2-y^2\end{array}\]\right| \\&=\left(1+\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2\right)^2\left\{1\left(1-\mathrm{x}^2-\mathrm{y}^2+2 \mathrm{x}^2\right)-0+2 \mathrm{y}(0+\mathrm{y})\right\} \\& =\left(1+\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2\right)^2\left(1+\mathrm{x}^2-\mathrm{y}^2+2 \mathrm{y}^2\right) \\& =\left(1+\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2\right)^2\left(1+\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2\right) \\& =\left(1+\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2\right)^3 \end{aligned}
\end{array}
প্রশ্নমতে det হলে,
বা,
(প্রমাণিত)\end{array}