Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

দেখাও যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-০১ : A=[aij]3×3;A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3} ; যেখানে a_{i j}=\left\{\[\begin{array}{l}(i+j)^2 \text{ যখন } i+j<5 \i+j \text{ যখন } i+j \geq 5\end{array}\]\right. দৃশ্যকল্প-০২ : C=\left[\[\begin{array}{cc}(v+w)^2 & u^2 \v^2 & (w+u)^2 \w^2 & v^2 \w^2 & (u+v)^2\end{array}\]\right]

উত্তর

দেওয়া আছ, L=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\]\right) এবং M=\left(\[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\]\right) L M=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\]\right)\left(\[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\]\right) =\left(\[\begin{array}{lll}1 \times 0 & 1 \times 1 & 1 \times 0 \\ 0 \times 0 & 0 \times 1 & 0 \times 0 \\ 0 \times 0 & 0 \times 1 & 0 \times 0\end{array}\]\right) বা, L M=\left(\[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\]\right) \therefore (L M)^T=\left(\[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\]\right)^T=\left(\[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\]\right)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=[Aij]3×3\mathrm{A}=\left[\mathrm{A}_{i \mathrm{j}}\right]_{3 \times 3} \therefore A=\left[\[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \a_{21} & a_{22} & a_{23} \a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\]\right] ; a_{i j}=\left\{\[\begin{array}{l}(i+j)^2 ; i+j<5 \i+j ; i+j \geq 5\end{array}\]\right. a11=(1+1)2=4,a_{11}=(1+1)^2=4, a12=(1+2)2=9,a_{12}=(1+2)^2=9, a13=(1+3)2=16a_{13}=(1+3)^2=16 a21=(2+1)2=9,a_{21}=(2+1)^2=9, a22=(2+2)2=16,a_{22}=(2+2)^2=16, a23=2+3=5a_{23}=2+3=5 a31=(3+1)2=16,a_{31}=(3+1)^2=16, a32=3+2=5,a_{32}=3+2=5, a33=3+3=6a_{33}=3+3=6 \therefore \quad A=\left[\[\begin{array}{ccc}4 & 9 & 16 \\9 & 16 & 5 \\16 & 5 & 6\end{array}\]\right] এখন |A|=\left[\[\begin{array}{ccc}4 & 9 & 16 \\9 & 16 & 5 \\16 & 5 & 6\end{array}\]\right] =4(96−25)+9(80−54)+16(45−256)=4(96-25)+9(80-54)+16(45-256) =284+234−3376=−2858≠0=284+234-3376=-2858 \neq 0 ∴A−1\therefore \quad \mathrm{A}^{-1} বিদ্যমান। A এর সহগুণকসমূহ : A_{11}=\left|\[\begin{array}{cc}16 & 5 \\ 5 & 6\end{array}\]\right| =96−25=71=96-25=71 A_{12}=-\left|\[\begin{array}{cc}9 & 5 \\ 16 & 6\end{array}\]\right| =(54−80)=26=(54-80)=26 A_{13}=\left|\[\begin{array}{cc}9 & 16 \\ 16 & 5\end{array}\]\right| =45−256=−211=45-256=-211 A_{21}=-\left|\[\begin{array}{cc}9 & 16 \\ 5 & 6\end{array}\]\right| =−(54−80)=26=-(54-80)=26 A_{22}=\left|\[\begin{array}{cc}4 & 16 \\ 16 & 6\end{array}\]\right| =24−256=−232=24-256=-232 A_{23}=-\left|\[\begin{array}{cc}4 & 9 \\ 16 & 5\end{array}\]\right| =−(20−144)=124=-(20-144)=124 A_{31}=\left|\[\begin{array}{cc}9 & 16 \\ 16 & 5\end{array}\]\right| =45−256=−211=45-256=-211 A_{32}=-\left|\[\begin{array}{cc}4 & 16 \\ 9 & 5\end{array}\]\right| =−(20−144)=124=-(20-144)=124 A_{33}=\left|\[\begin{array}{cc}4 & 9 \\ 9 & 16\end{array}\]\right| =64−81=−17=64-81=-17 Adj A=\left[\[\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \A_{21} & A_{22} & A_{23} \A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}} =\left[\[\begin{array}{ccc}71 & 26 & -211 \\26 & -232 & 124 \\-211 & 124 & -17\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{ccc}71 & 26 & -211 \\26 & -232 & 124 \\-211 & 124 & -17\end{array}\]\right] \therefore \quad A^{-1} =\frac{1}{|A|} \text{ Adj } A=\frac{1}{-2858}\left[\[\begin{array}{ccc}71 & 26 & -211 \\26 & -232 & 124 \\-211 & 124 & -17\end{array}\]\right] =\frac{1}{2858}\left[\[\begin{array}{ccc}-71 & -26 & 211 \\ -26 & 232 & -124 \\ 211 & -124 & 17\end{array}\]\right] এখন, AB=BA=I3\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=\mathrm{I}_3 হলে, \mathrm{B}=\mathrm{A}^{-1}=\left[\[\begin{array}{ccc}-71 & -26 & 211 \\ -26 & 232 & -124 \\ 211 & -124 & 17\end{array}\]\right] নির্ণেয় B=\frac{1}{2858}\left[\[\begin{array}{ccc}-71 & -26 & 211 \\ -26 & 232 & -124 \\ 211 & -124 & 17\end{array}\]\right].

উত্তর

দেওয়া আছে, M=\left[\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \b^2 & (c+a)^2 & b^2 \c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{array}\]\right] বামপক্ষ =∣M∣=|M| =\left|\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \b^2 & (c+a)^2 & b^2 \c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}(b+c)^2 & a^2-(b+c)^2 & a^2-(b+c)^2 \b^2 & (c+a)^2-b^2 & b^2-b^2 \c^2 & c^2-c^2 & (a+b)^2-c^2\end{array}\]\right| \left[\[\begin{array}{l}c^2=c_2-c_1 \c_3=c_3-c_1\end{array}\]\right] =\left|\[\begin{array}{cccc}(b+c)^2 & (a+b+c)(a-b-c) & (a+b+c)(a-b-c) \b^2 & (a+b+c)(c+a-b) & 0 \c^2 & 0 & (a+b+c)(a+b-c)\end{array}\]\right| =(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b^2+2 b c+c^2 & a-b-c & a-b-c \b^2 & c+a-b & 0 \c^2 & 0 & a+b-c\end{array}\]\right| =(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}2 b c & -2 c & -2 b \b^2 & c+a-b & 0 \c^2 & 0 & a+b-c\end{array}\]\right| [r1′=r1−r2−r3]\left[r_1^{\prime}=r_1-r_2-r_3\right] =2(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b c & -c & -b \b^2 & c+a-b & 0 \c^2 & 0 & a+b-c\end{array}\]\right| =2(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b c & 0 & 0 \b^2 & c+a & \frac{b^2}{c} \c^2 & \frac{c^2}{b} & a+b\end{array}\]\right| \left[\[\begin{array}{l}c_2^{\prime}=c_2+\frac{1}{b} c_1 \c_3^{\prime}=c_3+\frac{1}{c} c_1\end{array}\]\right] =\frac{2}{b c}(a+b+c)^2\left|\[\begin{array}{ccc}b c & 0 & 0 \b^2 & b c+a b & b^2 \c^2 & c^2 & a c+b c\end{array}\]\right| =\frac{2}{b c}(a+b+c)^2 b c\left|\[\begin{array}{ccc}b c & 0 & 0 \b & c+a & b \c & c & a+b\end{array}\]\right| =2(a+b+c)2{bc(ca+bc+a2+ab−bc)}=2(a+b+c)^2\left\{b c\left(c a+b c+a^2+a b-b c\right)\right\} =2(a+b+c)2{bc(a2+ab+ca)}=2(a+b+c)^2\left\{b c\left(a^2+a b+c a\right)\right\} =2(a+b+c)2[bc{a(a+b+c)}]=2(a+b+c)^2[b c\{a(a+b+c)\}] =2(a+b+c)2{abc(a+b+c)}=2(a+b+c)^2\{a b c(a+b+c)\} =2abc(a+b+c)3==2 a b c(a+b+c)^3= ডানপক্ষ ∴∣M∣=2abc(a+b+c)3\therefore |M| =2 a b c(a+b+c)^3. (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন