Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, [গণিত] নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] হলে, [গণিত] বিদ্যমান। A এর সহগুণকসমূহ : [গণিত] নির্ণেয় [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

হলে, নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ করো : \mathrm{A=\left[\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \x^3-5 & y^3-5 & z^3-5\end{array}\]\right]}.

উত্তর

দেওয়া আছে, \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\]\right] \therefore \quad B^2=B \cdot B =\left[\[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\]\right] \times\left[\[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{cc}1+6 & -2+8 \\ -3+12 & 6+16\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{cc}7 & 6 \\ 9 & 22\end{array}\]\right] এবং I=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\]\right] \therefore \mathrm{B}^2-2 \mathrm{~B}+3 \mathrm{I} =\left[\[\begin{array}{ll}7 & 6 \\ 9 & 22\end{array}\]\right]-2\left[\[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\]\right]+3\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{cc}7 & 6 \\ 9 & 22\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{cc}-2 & 4 \\ 6 & 8\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{cc}7+2+3 & 6-4+0 \\ 9-6+0 & 22-8+3\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{cc}12 & 2 \\ 3 & 17\end{array}\]\right] নির্ণেয় \mathrm{B}^2-2 \mathrm{~B}+3 \mathrm{I} =\left[\[\begin{array}{cc}12 & 2 \\ 3 & 17\end{array}\]\right].

উত্তর

দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \x^3-5 & y^3-5 & z^3-5\end{array}\]\right] \therefore \quad|A|=\left|\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \x^3-5 & y^2-5 & z^3-5\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{lll}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \x^3 & y^3 & z^3\end{array}\]\right|+\left|\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \\ -5 & -5 & -5\end{array}\]\right| =x y z\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2\end{array}\]\right|-5\left|\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right| =x y z\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2\end{array}\]\right|-5\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2\end{array}\]\right| =(x y z-5)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2\end{array}\]\right| =(x y z-5)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \x-y & y-z & z \x^2-y^2 & y^2-z^2 & z^2\end{array}\]\right| =(xyz−5)1{(x−y)(y2−z2)−(y−z)(x2−y2)}=(\mathrm{xyz}-5) 1\left\{(\mathrm{x}-\mathrm{y})\left(\mathrm{y}^2-\mathrm{z}^2\right)-(\mathrm{y}-\mathrm{z})\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{y}^2\right)\right\} =(xyz−5){(x−y)(y+z)(y−z)−(y−z)(x+y)(x−y)}=(\mathrm{xyz}-5)\{(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}+\mathrm{z})(\mathrm{y}-\mathrm{z})-(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{x}+\mathrm{y})(\mathrm{x}-\mathrm{y})\} =(xyz)−5(x−y)(y−z)(y+z−x−y)=(\mathrm{xyz})-5(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{y}+\mathrm{z}-\mathrm{x}-\mathrm{y}) =(xyz−5)(x−y)(y−z)(z−x)=(x y z-5)(x-y)(y-z)(z-x) = ডানপক্ষ ∴∣A∣=(xyz−5)(x−y)(y−z)(z−x).\therefore \quad|\mathrm{A}|=(\mathrm{xyz}-5)(\mathrm{x}-\mathrm{y})(\mathrm{y}-\mathrm{z})(\mathrm{z}-\mathrm{x}) . (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \x^3-5 & y^3-5 & z^3-5\end{array}\]\right] x=1,y=2,z=−1\mathrm{x=1, y=2, z=-1} হলে, A=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1-5 & 8-5 & -1-5\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -4 & 3 & -6\end{array}\]\right] \therefore |A|=\left|\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -4 & 3 & -6\end{array}\]\right| =1(−24−3)+2(−4+6)−1(3+16)=1(-24-3)+2(-4+6)-1(3+16) =−27+4−19=-27+4-19 =4−46=−42≠0=4-46=-42 \neq 0 ∴A−1\therefore \quad \mathrm{A}^{-1} বিদ্যমান। A এর সহগুণকসমূহ : A_{11}=\left|\[\begin{array}{rr}4 & 1 \\ 3 & -6\end{array}\]\right| =−24−3=−27=-24-3=-27 A_{12}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -4 & -6\end{array}\]\right| =−(−6+4)=2=-(-6+4)=2 A_{13}=\left|\[\begin{array}{rr}1 & 4 \\ -4 & 3\end{array}\]\right| =3+16=19=3+16=19 A_{21}=-\left|\[\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 3 & -6\end{array}\]\right| =−(−12+3)=9=-(-12+3)=9 A_{22}=\left|\[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -4 & -6\end{array}\]\right| =−6−4=−10=-6-4=-10 A_{23}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -4 & 3\end{array}\]\right| =−(3+8)=−11=-(3+8)=-11 A_{31}=\left|\[\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 4 & 1\end{array}\]\right| =2+4=6=2+4=6 A_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\]\right| =−(1+1)=−2=-(1+1)=-2 A_{33}=\left|\[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\]\right| =4−2=2=4-2=2 \operatorname{Adj} A =\left[\[\begin{array}{lll}A_{11} & A_{12} & A_{13} \A_{21} & A_{22} & A_{23} \A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}} =\left[\[\begin{array}{ccc}-27 & 2 & 19 \\ 9 & -10 & -11 \\ 6 & -2 & 2\end{array}\]\right]^{\mathrm{T}} =\left[\[\begin{array}{ccc}-27 & 9 & 6 \\ 2 & -10 & -2 \\ 19 & -11 & 2\end{array}\]\right] A−1=1∣A∣Adj⁡AA^{-1} =\frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A =\frac{1}{-42}\left[\[\begin{array}{rrr}-27 & 9 & 6 \\ 2 & -10 & -2 \\ 19 & -11 & 2\end{array}\]\right] =\frac{1}{42}\left[\[\begin{array}{ccc}27 & -9 & -6 \\ -2 & 10 & 2 \\ -19 & 11 & -2\end{array}\]\right] নির্ণেয় A^{-1}=\frac{1}{42}\left[\[\begin{array}{rrr}27 & -9 & -6 \\ -2 & 10 & 2 \\ -19 & 11 & -2\end{array}\]\right].
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন