[গণিত] হলে, [গণিত] নির্ণয় কর।
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক, [গণিত] যেহেতু [গণিত] , সুতরাং [গণিত] বিদ্যমান। ধরি, [গণিত] ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ [গণিত] । [গণিত] আমরা জানি, [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
হলে, নির্ণয় কর।
উদ্দীপক
দৃশ্যকল্প-১ :
দৃশ্যকল্প-২ : A=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\]\right]
Dhaka · 2025
উত্তর
দেওয়া আছে,
C = \[\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]
আমরা জানি,
মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স, I = \[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
\therefore I - C = \[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] - \[\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 1-1 & 0-(-1) \\ 0-0 & 1-0 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স হবে যদি হয়।
এখন,
= \[\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \\ 0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 0+0 & 0+1 \\ 0+0 & 0+1 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]
যেহেতু ,
একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স। ()
উত্তর
দেওয়া আছে,
A = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]
এবং
সুতরাং, [যেখানে হলো মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স]
এখানে,
= \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 4-2+2 & 2+0+3 & 2+3+1 \\ -4+0+6 & -2+0+9 & -2+0+3 \\ 4-6+2 & 2+0+3 & 2+9+1 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 12 \end{bmatrix}\]
3A = 3 \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 6 & 3 & 3 \\ -6 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix}\]
2I_3 = 2 \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 12 \end{bmatrix}\] + \[\begin{bmatrix} 6 & 3 & 3 \\ -6 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix}\] - \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 4+6-2 & 5+3-0 & 6+3-0 \\ 2-6-0 & 7+0-2 & 1+9-0 \\ 0+6-0 & 5+9-0 & 12+3-2 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} 8 & 8 & 9 \\ -4 & 5 & 10 \\ 6 & 14 & 13 \end{bmatrix}\] ()
উত্তর
দেওয়া আছে,
A = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]
\therefore B = A^T = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]^T = \[\begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}\]
এখন, ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক,
\vert{}B\vert{} = \[\begin{vmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}\]
যেহেতু , সুতরাং বিদ্যমান।
ধরি, ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ ।
B_{11} = (-1)^{1+1} \[\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\] = 0 - 9 = -9
B_{12} = (-1)^{1+2} \[\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\] = -(1 - 3) = 2
B_{13} = (-1)^{1+3} \[\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\] = 3 - 0 = 3
B_{21} = (-1)^{2+1} \[\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\] = -(-2 - 6) = 8
B_{22} = (-1)^{2+2} \[\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\] = 2 - 2 = 0
B_{23} = (-1)^{2+3} \[\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\] = -(6 - (-2)) = -8
B_{31} = (-1)^{3+1} \[\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}\] = -6 - 0 = -6
B_{32} = (-1)^{3+2} \[\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\] = -(6 - 2) = -4
B_{33} = (-1)^{3+3} \[\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}\] = 0 - (-2) = 2
\therefore Adj(B) = \[\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \B_{21} & B_{22} & B_{23} \B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix}\]^T
= \[\begin{bmatrix} -9 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & -8 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix}\]^T
= \[\begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix}\]
আমরা জানি,
\therefore B^{-1} = \frac{1}{-16} \[\begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} \frac{-9}{-16} & \frac{8}{-16} & \frac{-6}{-16} \\ \frac{2}{-16} & \frac{0}{-16} & \frac{-4}{-16} \\ \frac{3}{-16} & \frac{-8}{-16} & \frac{2}{-16} \end{bmatrix}\]
= \[\begin{bmatrix} \frac{9}{16} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} \\ -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{3}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}\]