Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] নির্ণয় কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বিদ্যমান। Adj [গণিত] এর সহগুণকসমূহ: [গণিত] নির্ণেয় [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

[গণিত] নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

C=\left(\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right), X=(x, y, z), D=\left(\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\]\right)

Rajshahi · 2025

উত্তর

ধরি, P=\left(\[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\]\right) PP ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি হবে যদি P2=IP^2=I হয় এখন, P2=P.P\mathrm{P}^2=\mathrm{P} . \mathrm{P} =\left(\[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\]\right)\left(\[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\]\right) =\left(\[\begin{array}{rr}4-3 & 6-6 \\ -2+2 & -3+4\end{array}\]\right)=\left(\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right)=I যেহেতু P2=1\mathrm{P}^2=1 সুতরাং, \left(\[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\]\right) ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি।

উত্তর

প্রশ্নমতে, CXT=DT\mathrm{CX}^{\mathrm{T}}=\mathrm{D}^{\mathrm{T}} বা, \left(\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right)\left[\[\begin{array}{lll}x & y & z\end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 2^{\prime} & 3\end{array}\]\right]^T বা, \left(\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right)\left(\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right)=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\]\right) \therefore \quad\left(\[\begin{array}{c}x+2 y+z \\ -x+2 y+0 \cdot z \\ 3 x+4 y+5 z\end{array}\]\right)=\left(\[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\]\right) ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, x+2y+z=1\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{z}=1, −x+2y+0⋅z=2-x+2 y+0 \cdot z =2 এবং 3x+4y+5z=33 x+4 y+5 z =3 x,yx, y ও zz এর সহগ গুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, D=\left|\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right| =1(10−0)−2(−5−0)+1(−4−6)=1(10-0)-2(-5-0)+1(-4-6) =10+10−10=10=10+10-10=10 এখন, \mathrm{D}_{\mathrm{x}}=\left|\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right| =1(10−0)−2(10−0)+1(8−6)=1(10-0)-2(10-0)+1(8-6) =10−20+2=−8=10-20+2=-8 D_y =\left|\[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 5\end{array}\]\right| =1(10−0)−1(−5−0)+1(−3−6)=1(10-0)-1(-5-0)+1(-3-6) =10+5−9=6=10+5-9=6 D_z =\left|\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\]\right| =1(6−8)−2(−3−6)+1(−4−6)=1(6-8)-2(-3-6)+1(-4-6) =−2+18−10=6=-2+18-10=6 ∴x=DxD=−810=−45,y=DyD=610=35\therefore \quad x=\frac{D_x}{D}=\frac{-8}{10}=\frac{-4}{5}, y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} এবং z=DzD=610=35z=\frac{D_z}{D}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} নির্ণেয় সমাধান, (x,y,z)=(−45,35,35)(x, y, z)=\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)

উত্তর

দেওয়া আছে, \mathrm{C}=\left(\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right) \therefore C^T=\left(\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\]\right)^T =\left(\[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5\end{array}\]\right) \therefore \left|C^T\right|=\left|\[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5\end{array}\]\right| =1(10−0)+1(10−4)+3(0−2)=1(10-0)+1(10-4)+3(0-2) =10+6−6=10=10+6-6=10 ∴(CT)−1\therefore \quad\left(C^{\mathrm{T}}\right)^{-1} বিদ্যমান। Adj C^T=\left(\[\begin{array}{lll}C_{11}^T & C_{12}^T & C^T{ }_{13}^T \C_{21}^T & C_{22}^T & C^T{ }_{23}^T \C_{31}^T & C_{32}^T & C^T{ }_{33}\end{array}\]\right)^T CTC^T এর সহগুণকসমূহ: C^T{ }_{11}=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 0 & 5\end{array}\]\right| =10−0=10=10-0=10 C^T{ }_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 1 & 5\end{array}\]\right| =−(10−4)=−6=-(10-4)=-6 C^T{ }_{13}=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 0\end{array}\]\right| =0−2=−2=0-2=-2 C^T{ }_{21}=-\left|\[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ 0 & 5\end{array}\]\right| =−(−5−0)=5=-(-5-0)=5 C^T{ }_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 5\end{array}\]\right| =5−3=2=5-3=2 C^T{ }_{23}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\]\right| =−(0+1)=−1=-(0+1)=-1 C_{31}^T=\left|\[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\]\right| =−4−6=−10=-4-6=-10 C_{32}^T=-\left|\[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\]\right| =−(4−6)=2=-(4-6)=2 C_{33}^T=\left|\[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 2 & 2\end{array}\]\right| =2+2=4=2+2=4 Adj C^T=\left(\[\begin{array}{crr}10 & -6 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \\ -10 & 2 & 4\end{array}\]\right)^T =\left(\[\begin{array}{rrr}10 & 5 & -10 \\ -6 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4\end{array}\]\right) ∴(CT)−1=1∣CT∣Adj⁡CT\therefore \quad\left(C^T\right)^{-1}=\frac{1}{\left|C^T\right|} \operatorname{Adj} C^T =\frac{1}{10}\left(\[\begin{array}{rrr}10 & 5 & -10 \\ -6 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4\end{array}\]\right) =\left(\[\begin{array}{lll}\frac{10}{10} & \frac{5}{10} & \frac{-10}{10} \\ \frac{-6}{10} & \frac{2}{10} & \frac{2}{10} \\ \frac{-2}{10} & \frac{-1}{10} & \frac{4}{10}\end{array}\]\right) =\left(\[\begin{array}{rrr}1 & \frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{array}\]\right) নির্ণেয় \left(C^T\right)^{-1}=\left(\[\begin{array}{rrr}1 & \frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{array}\]\right)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন