Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] এর সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক [গণিত] হলে প্রমাণ কর, [গণিত]

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণজোটের [গণিত] এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক, [গণিত] [ [গণিত] পাশাপাশি দুইটি সারি বা কলাম পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়] [গণিত] এবং [গণিত] প্রয়োগ করে ] [গণিত] . (প্রমাণিত) [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

এর সহগগুলি দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক হলে প্রমাণ কর,

উদ্দীপক

সমীকরণ জোট : tx + uy + vz=5 t2x+u2y+v2z=5(t3−1)x+(u3−1)y+(v3−1)z=−5\begin{aligned}& t^2 x+u^2 y+v^2 z=5 \\& \left(t^3-1\right) x+\left(u^3-1\right) y+\left(v^3-1\right) z=-5\end{aligned}

Barisal · 2023

উত্তর

দেওয়া আছে, M=\left[\[\begin{array}{r}2 \\ 9 \\ -3\end{array}\]\right] এবং N=\left[\[\begin{array}{lll}-3 & 5 & 6\end{array}\]\right] \therefore M N=\left[\[\begin{array}{r}2 \\ 9 \\ -3\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{lll}-3 & 5 & 6\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{rrr}-6 & 10 & 12 \\ -27 & 45 & 54 \\ 9 & -15 & -18\end{array}\]\right] \begin{aligned} \therefore[\mathrm{MN}]^{\mathrm{T}} & =\left[\begin{array}{rrr}-6 & 10 & 12 \\ -27 & 45 & 54 \\ 9 & -15 & -18\end{aligned}\right]^{\mathrm{T}} \\ & =\left[\[\begin{array}{rrr}-6 & -27 & 9 \\ 10 & 45 & -15 \\ 12 & 54 & -18\end{array}\]\right]\end{aligned} \end{array} নির্ণেয় [\mathrm{MN}]^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{rrr}-6 & -27 & 9 \\ 10 & 45 & -15 \\ 12 & 54 & -18\end{array}\]\right]^{1}\end{array}

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ জোট : tx+uy+vz=5t x+u y+v z=5 t2x+z2y+v2z=5t^{2} x+z^{2} y+v^{2} z=5 (t3−1)x+(u3−1)y+(v3−1)z=−5\left(t^{3}-1\right) x+\left(u^{3}-1\right) y+\left(v^{3}-1\right) z=-5 t=1,u=2,v=3\mathrm{t}=1, \mathrm{u}=2, \mathrm{v}=3 হলে, প্রদত্ত সমীকরণ জোট : x+2y+3z=5x+2 y+3 z=5 x+4y+9z=5x+4 y+9 z=5 0.x+7y+26z=−50 . x+7 y+26 z=-5 x,yx, y ও z\mathrm{z} এর সহগগুলো নিয়ে গাঠিত নির্ণায়ক, D =\left|\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 0 & 7 & 26 \end{array}\]\right| =1(104−63)−2(26−0)+3(7−0)=1(104-63)-2(26-0)+3(7-0) =41−52+21=10=41-52+21=10 \therefore D_{x} =\left|\[\begin{array}{rrr} 5 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \\ -5 & 7 & 26 \end{array}\]\right| =5(104−63)−2(130+45)+3(35+20)=5(104-63)-2(130+45)+3(35+20) =205−350+165=20=205-350+165=20 D_{y} =\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \\ 0 & -5 & 26 \end{array}\]\right| =1(130+45)−5(26−0)+3(−5−0)=1(130+45)-5(26-0)+3(-5-0) =175−130−15=30=175-130-15=30 D_{z} =\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 7 & -5 \end{array}\]\right| =1(−20−35)−2(−5−0)+5(7−0)=1(-20-35)-2(-5-0)+5(7-0) =−55+10+35=−10=-55+10+35=-10 x=DxD=2010=2;y=DyD=3010=3x =\frac{D_{x}}{D}=\frac{20}{10}=2 ; y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{30}{10}=3 এবং z=DzD=−1010=−1z=\frac{D_{z}}{D}=\frac{-10}{10}=-1 নির্ণেয় সমাধান : (x,y,z)=(2,3,−1)(x, y, z)=(2,3,-1).

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণজোটের x,y,zx, y, z এর সহগগুলো দ্বারা গঠিত নির্ণায়ক, \begin{aligned} D & =\left|\begin{array}{ccc}t & u & v \t^{2} & u^{2} & v^{2} \t^{3}-1 & u^{3}-1 & v^{3}-1\end{aligned}\right| \\ & =\left|\[\begin{array}{ccc}t & u & v \t^{2} & u^{2} & v^{2} \t^{3} & u^{3} & v^{3}\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc}t & u & v \t^{2} & u^{2} & v^{2} \\ 1 & 1 & 1\end{array}\]\right| \\ & =t u v\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \t & u & v \t^{2} & u^{2} & v^{2}\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \t & u & v \t^{2} & u^{2} & v^{2}\end{array}\]\right|\end{aligned} \end{array} [∴\therefore পাশাপাশি দুইটি সারি বা কলাম পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়] =(t u v-1)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \t & u & v \t^{2} & u^{2} & v^{2}\end{array}\]\right| =(t u v-1)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \t-u & u-v & v \t^{2}-u^{2} & u^{2}-v^{2} & v^{2}\end{array}\]\right| [c1′=c1−c2\left[c_{1}{ }^{\prime}=c_{1}-c_{2}\right. এবং c2′=c2−c3c_{2}{ }^{\prime}=c_{2}-c_{3} প্রয়োগ করে ] =(t u v-1)\left|\[\begin{array}{cc}t-u & u-v \t^{2}-u^{2} & u^{2}-v^{2}\end{array}\]\right| =(t u v-1)(t-u)(u-v)\left|\[\begin{array}{cc}1 & 1 \t+u & u+v\end{array}\]\right| =(tuv−1)(t−u)(u−v)(u+v−t−u)=(t u v-1)(t-u)(u-v)(u+v-t-u) =(tuv−1)(t−u)(u−v)(v−t)=(t u v-1)(t-u)(u-v)(v-t) ∴D=(tuv−1)(t−u)(u−v)(v−t)\therefore \quad D=(t u v-1)(t-u)(u-v)(v-t). (প্রমাণিত)\end{array}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন