Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

l = 1, m = 2, n = –1 হলে, A–1 নির্ণেয় কর।

উত্তর: বি.দ্র. উদ্দীপকের বর্ণনায় l, m ও n এর কোনো তথ্য নাই, l, m ও n এর পরিবর্তে যথাক্রমে p, q ও r ধরে সমাধান করা হলো: খ-হতে প্রাপ্ত, [গণিত] এবং [গণিত] হলে, [গণিত] এর সহগুণকসমূহ : [গণিত] নির্ণেয় [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

l = 1, m = 2, n = –1 হলে, A–1 নির্ণেয় কর।

উদ্দীপক

px+qy+rz=1\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}=1 p2x+q2y+r2z=ap^{2} x+q^{2} y+r^{2} z=a (p3−1)x+(q3−1)y+(r3−1)z=a2\left(\mathrm{p}^{3}-1\right) \mathrm{x}+\left(\mathrm{q}^{3}-1\right) \mathrm{y}+\left(\mathrm{r}^{3}-1\right) \mathrm{z}=\mathrm{a}^{2}

Sylhet · 2023

উত্তর

ধরি, P=\left[\[\begin{array}{rr}4 & 3 \\ -4 & -3\end{array}\]\right] P\mathrm{P} ম্যাট্রিক্রটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স হলে, P2=P\mathrm{P}^{2}=\mathrm{P} হবে। এখন, P2=P⋅PP^{2}=P \cdot P =\left[\[\begin{array}{rr} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rr} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{rr} 16-12 & 12-9 \\ -16+12 & -12+9 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{rr} 4 & 3 \\ -4 & -3 \end{array}\]\right]=p যেহেতু P2=P\mathrm{P}^{2}=\mathrm{P} সুতরাং, \mathrm{P}=\left[\[\begin{array}{rr}4 & 3 \\ -4 & -3\end{array}\]\right] একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক। (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, px+qy+rz=1\mathrm{px}+\mathrm{qy}+\mathrm{rz}=1 p2x+q2y+r2z=ap^{2} x+q^{2} y+r^{2} z=a (p3−1)x+(q3−1)y+(r3−1)z=a2\left(p^{3}-1\right) x+\left(q^{3}-1\right) y+\left(r^{3}-1\right) z=a^{2} বা, \left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{l}1 \a \a^{2}\end{array}\]\right] বা, AX=BA X=B; যেখানে A=\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right] এবং B=\left[\[\begin{array}{l}1 \a \a^{2}\end{array}\]\right] এখানে, p≠q≠rp \neq q \neq r এবং Det⁡(A)=0\operatorname{Det}(A)=0 এখন, \operatorname{Det}(A)=\left|\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc} p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3} & q^{3} & r^{3} \end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc} p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\]\right| =p q r\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \end{array}\]\right| [∵\because পাশাপাশি দুইটি সারি বা কলাম পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়] =(p q r-1)\left|\[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2}\end{array}\]\right| =(p q r-1)\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \p-q & q-r & r \p^{2}-q^{2} & q^{2}-r^{2} & r^{2} \end{array}\]\right| [c1′=c1−c2[c_{1}{ }^{\prime}=c_{1}-c_{2} এবং c2′=c2−c3c_{2}{ }^{\prime}=c_{2}-c_{3} প্রয়োগ করে] =(p q r-1)\left|\[\begin{array}{cc} p-q & q-r \p^{2}-q^{2} & q^{2}-r^{2} \end{array}\]\right| =(p q r-1)(p-q)(q-r)\left|\[\begin{array}{cc} 1 & 1 \p+q & q+r \end{array}\]\right| =(pqr−1)(p−q)(q−r)(q+r−p−q)=(p q r-1)(p-q)(q-r)(q+r-p-q) =(pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)=(p q r-1)(p-q)(q-r)(r-p) এখানে, Det⁡(A)=0\operatorname{Det}(A)=0 বা, (pqr−1)(p−q)(q−r)(r−p)=0(p q r-1)(p-q)(q-r)(r-p)=0 বা, pqr−1=0[∵p≠q≠r]pqr -1=0 [\because p \neq q \neq r] ∴pqr=1\therefore p q r=1 (দেখানো হলো)

উত্তর

বি.দ্র. উদ্দীপকের বর্ণনায় l, m ও n এর কোনো তথ্য নাই, l, m ও n এর পরিবর্তে যথাক্রমে p, q ও r ধরে সমাধান করা হলো: খ-হতে প্রাপ্ত, A=\left[\[\begin{array}{ccc}p & q & r \p^{2} & q^{2} & r^{2} \p^{3}-1 & q^{3}-1 & r^{3}-1\end{array}\]\right] p=1,q=2p=1, q=2 এবং r=−1r=-1 হলে, A =\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1^{2} & 2^{2} & (-1)^{2} \\ 1^{3}-1 & 2^{3}-1 & (-1)^{3}-1 \end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1-1 & 8-1 & -1-1 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & -2 \end{array}\]\right] \therefore|A| =\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & -2 \end{array}\] \mid\right. =1(−8−7)−2(−2−0)−1(7−0)=1(-8-7)-2(-2-0)-1(7-0) =−15+4−7=4−22=−18≠0=-15+4-7=4-22=-18 \neq 0 AA এর সহগুণকসমূহ : A_{11}=\left|\[\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 7 & -2 \end{array}\]\right| =−8−7=−15=-8-7=-15 A_{12}=-\left|\[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{array}\]\right| =−(−2−0)=2=-(-2-0)=2 A_{13}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 0 & 7 \end{array}\]\right| =7−0=7=7-0=7 A_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll} 2 & -1 \\ 7 & -2 \end{array}\]\right| =−(−4+7)=−3=-(-4+7)=-3 A_{22}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{array}\]\right| =−2+0=−2=-2+0=-2 A_{23}=-\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{array}\]\right| =−(7−0)=−7=-(7-0)=-7 A_{31}=\left|\[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 4 & 1 \end{array}\]\right| =2+4=6=2+4=6 A_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\]\right| =−(1+1)=−2=-(1+1)=-2 A_{33}=\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}\]\right| =4−2=2=4-2=2 \therefore \operatorname{Adj} A=\left[\[\begin{array}{lll} \mathrm{A}_{11} & \mathrm{~A}_{12} & \mathrm{~A}_{13} \\ \mathrm{~A}_{21} & \mathrm{~A}_{22} & \mathrm{~A}_{23} \\ \mathrm{~A}_{31} & \mathrm{~A}_{32} & \mathrm{~A}_{33} \end{array}\]\right]^{\mathrm{T}} =\left[\[\begin{array}{rrr} -15 & 2 & 7 \\ -3 & -2 & -7 \\ 6 & -2 & 2 \end{array}\]\right]^{T}=\left[\[\begin{array}{rr} -15 & -3 \\ 2 & -2 \\ 7 & -7 \end{array}\]\right. \left.\[\begin{array}{r} 6 \\ -2 \\ 2 \end{array}\]\right] A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A=\frac{1}{-18}\left[\[\begin{array}{rrr} -15 & -3 & 6 \\ 2 & -2 & -2 \\ 7 & -7 & 2 \end{array}\]\right]=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr} 15 & 3 & -6 \\ -2 & 2 & 2 \\ -7 & 7 & -2 \end{array}\]\right] নির্ণেয় \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{18}\left[\[\begin{array}{rrr} 15 & 3 & -6 \\ -2 & 2 & 2 \\ -7 & 7 & -2 \end{array}\]\right]
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন